Zadanie 1

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a-b)}^2=a^2-2\mathrm{ab}+b^2$.

Zauważ, że ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, dla $a\ge 0$.

Zadanie 2

Sumę potęg z licznika zastąp iloczynem.

Przedstaw liczbę 9 jako potęgę o podstawie 3.

Skorzystaj z własności:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Zadanie 3

Zauważ, że logarytmy z zadania mają takie same podstawy.

Skorzystaj z własności logarytmów:

$p\cdot {\log }_{a}b={{\log }_{a}b}^p$

${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\frac{b}{c}$

Zadanie 4

Zauważ, że:

jeśli $x<y$ i $a>1$, to $a^x<a^y$

oraz

jeśli $x<y$ i $0<a<1$, to $a^x>a^y$

Zadanie 5

Przypomnijmy, że $|x-a|$ to odległość na osi liczbowej pomiędzy liczbami $x$ i $a$.

$|x+3|=|x-(-3\left)\right|$, więc nierówność można zapisać w postaci: $|x-(-3\left)\right|\ge 1$.

Zaznacz na osi liczbowej liczbę $-3$, a następnie dwie liczby, które są odległe od $-3$ dokładnie o 1 jednostkę.

Uważaj na znak przed liczbą $3$ – zapis $|x+3|$ oznacza odległość pomiędzy $x$ i $-3$.

Inny sposób:

Możesz skorzystać z własności: dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r\ge 0$ mamy:

$|x-a|\ge r$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\le a-r$ lub $x\ge a+r$

Zadanie 6

Oblicz, jakim procentem liczby 5,20 jest różnica cen.

Zadanie 7

Rozwiąż układ równań.

Przypomnij sobie, że liczby przeciwne, to liczby $a$ i $(-a)$, natomiast liczby odwrotne, to liczby $a$ i $\frac{1}{a}$, dla $a\ne 0$.

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 8

Wypisz współczynniki podanego wielomianu, a następnie zapisz ich sumę.

Zauważ, że otrzymana suma ma być równa 24 – ułóż odpowiednie równanie.

Zadanie 9

Skorzystaj z metody grupowania wyrazów.

Zapisz lewą stronę równania jako iloczyn czynników.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Zadanie 10

Wyznacz dziedzinę tego równania – mianownik nie może być równy zero.

Zauważ, że o wartości ułamka równej 0 decyduje wyrażenie w liczniku.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^2-25=0$ ma dwa rozwiązania: $x=5$, $x=-5$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: $x=-5$.

Podając liczbę jako rozwiązanie, upewnij się, czy ta liczba należy do dziedziny równania.

Zadanie to możesz także rozwiązać, sprawdzając, czy podane w odpowiedziach liczby spełniają podane równanie. Jednak w tym przypadku także najpierw wyznacz dziedzinę.

Zadanie 11

Żeby pokazać, że liczba przy dzieleniu przez $12$ daje resztę $8$, trzeba ją zapisać w postaci $12k+8$, gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną.

Przypomnij sobie, że kolejne liczby naturalne parzyste różnią się o $2$ i można je zapisać w postaci: $2n$, $2n+2$, $2n+4$, gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Zadanie 12

Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ przecina oś $\mathrm{OY}$ w punkcie $(0,b)$.

Skorzystaj z tego, że wykres danej funkcji przechodzi przez punkt $(3,0)$.

Możesz też skorzystać z tego, że miejsce zerowe funkcji liniowej $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ można obliczyć ze wzoru $x_0=-\frac{b}{a}$.

Zadanie 13

Przypomnij sobie, że liczba $a$ we wzorze $y=\mathrm{ax}+b$ to współczynnik kierunkowy danej prostej.

Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, czyli $a_1\cdot a_2=-1$.

Zadanie 14.1

Zauważ, że wykres funkcji $g\left(x\right)=f(x+1)$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi $\mathrm{OX}$.

Zadanie 14.2

Odczytaj z wykresu funkcji $f$ jej miejsca zerowe.

Skorzystaj ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Inny sposób:

Zauważ, że na rysunku podane są współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f$.

Skorzystaj ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Zadanie 14.3

Skorzystaj z przedstawionego w zadaniu wykresu funkcji $f$ i odczytaj z niego zbiór tych argumentów $x$, dla których wykres znajduje się powyżej osi $\mathrm{OX}$.

Zadanie 15.1

Pamiętaj o zamianie jednostek czasu – zamień minuty na godziny.

Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru – zauważ, że masz obliczyć początkową liczbę bakterii, czyli $b_0$.

Zadanie 15.2

Zauważ, że wzór z zadania przedstawia funkcję wykładniczą, zatem odrzuć te wykresy, które nie przedstawiają wykresu funkcji wykładniczej.

Wybierz któryś z zaznaczonych na wykresach punktów, np. $(1,16)$ albo $(1,2)$ i sprawdź, który z nich spełnia wzór funkcji $b\left(t\right)=8\cdot 2^t$.

Zadanie 16

Zdanie pierwsze:

Skorzystaj ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Zdanie drugie:

Oblicz kilka początkowych wyrazów ciągu ($a_n$).

Zadanie 17

Skorzystaj ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)r$ oraze wzoru na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$.

Zadanie 18

Skorzystaj ze wzoru: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Uważaj na znaki – cosinus kąta rozwartego jest liczbą ujemną.

Zadanie 19

Przypomnij sobie twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu.

Inny sposób:

Zauważ, że promień okręgu (odcinek $\mathrm{OC}$) jest prostopadły do przedstawionej na rysunku stycznej.

Zadanie 20

Sporządź odpowiedni rysunek. Uważaj na odpowiednie oznaczenia wierzchołków i kątów tego trójkąta.

Zauważ, że największy kąt tego trójkąta leży naprzeciwko jego najdłuższego boku.

Żeby obliczyć cosinus szukanego kąta, skorzystaj z twierdzenia cosinusów.

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta o danych bokach $a$ i $b$ i kącie $\alpha$ zawartym między tymi bokami: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$.

Zadanie 21

Oblicz długość boku $\mathrm{AB}$ – skorzystaj ze wzoru: $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$.

Zadanie 22

Odczytaj z równania okręgu $O$ współrzędne jego środka $S$ oraz długość promienia $r$.

Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do środka $S$ względem osi $\mathrm{OY}$.

Możesz sporządzić pomocniczy rysunek – w układzie współrzędnych zaznacz punkt $S$, a następnie jego obraz w symetrii względem osi $\mathrm{OY}$.

Zadanie 23

Zaznacz na przedstawionym rysunku szukany kąt – połącz odpowiednie wierzchołki w podstawie.

Zauważ, że otrzymasz trójkąt prostokątny – z odpowiedniej funkcji trygonometrycznej wyznaczysz szukany kąt.

Zadanie 24

Przypomnijmy, że stosunek objętości brył podobnych w skali $k$ jest równy $k^3$.

Uwaga – korzystając z objętości podanych ostrosłupów podobnych, wyznaczysz $k^3$, natomiast w odpowiedzi należy podać skalę podobieństwa $k$ większego ostrosłupa do mniejszego.

Zadanie 25

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zauważ, że w zapisie używamy wyłącznie cyfr: 0, 4, 5, 7, a cyfrą tysięcy nie może być cyfra 0.

Zwróć uwagę, że cyfry mogą się powtarzać.

Zadanie 26

Zapisz łączną liczbę skarpetek białych i czarnych.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$, gdzie $A$ to zdarzenie losowe, polegające na wylosowaniu czarnej skarpetki.

Zadanie 27

Policz, ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych.

Wypisz wszystkie liczby trzycyfrowe parzyste, których suma cyfr jest równa 4.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 28

Zauważ, że aby prawidłowo wskazać medianę danego zestawu liczb, musimy ustawić te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

Zadanie 29

Sporządź pomocniczy rysunek i oznacz niewiadomymi długości boków prostokąta.

Zauważ, że w zadaniu podany jest obwód prostokąta – zapisz ten związek z użyciem wprowadzonych niewiadomych.

Zapisz wzór na pole prostokąta jako funkcję jednej zmiennej – otrzymasz funkcję kwadratową.

Nie zapomnij o wyznaczeniu dziedziny zapisanej funkcji.

Wyznacz argument, dla którego zapisana funkcja przyjmuje wartość największą.

Nie zapomnij o wyznaczeniu największej powierzchni.