Zadanie 1

Zapisz liczbę z licznika jako jedną potęgę o podstawie 5.

Skorzystaj z własności:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Zadanie 2

Zauważ, że logarytmy w danym wyrażeniu mają takie same podstawy.

Skorzystaj z własności logarytmów:

${\log }_a(x\cdot y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

dla dowolnych liczb rzeczywistych $x>0$, $y>0$ i $a\ne 0$.

Zadanie 3

Wypisz wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia losowego.

Policz wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu, że orzeł wypadnie co najmniej dwa razy.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 4

Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|={\{}_{-x\text{ dla }x<0}^{\phantom{-}x\text{ dla }x\ge 0}$

Opuść kolejne symbole wartości bezwzględnej, ustalając czy w danym przedziale $(-3;5)$ wyrażenie znajdujące się w opuszczanej wartości bezwzględnej ma wartość ujemną czy nieujemną.

Zwróć uwagę, że tam, gdzie wyrażenie w podanym przedziale ma wartość ujemną, opuszczając symbol wartości bezwzględnej, zmieniamy znak na przeciwny.

Zadanie 5

Zauważ, że odcinki $\mathrm{AC}$ i $\mathrm{DE}$ są równolegle.

Skorzystaj z podobieństwa trójkątów albo z twierdzenia Talesa.

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 6

Ponieważ $(-1)$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $W(-1)=0$.

Zadanie 7

Wyznacz dziedzinę tego równania – mianownik nie może być równy zero.

Zauważ, że o wartości ułamka równej 0, decyduje wyrażenie w liczniku.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^2-9=0$ ma dwa rozwiązania: $x=3$, $x=-3$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: $-3$.

Podając rozwiązanie, upewnij się, czy ta liczba należy do dziedziny równania.

Zadanie to możesz także rozwiązać, sprawdzając, czy podane w odpowiedziach liczby spełniają podane równanie. Jednak w tym przypadku także najpierw wyznacz dziedzinę.

Zadanie 8

Zauważ, że skoro rozwiązaniem jest jeden przedział, to musi on być rozwiązaniem nierówności postaci $|x-a|\le r$.

Wyznacz liczbę, która jest środkiem przedziału $\langle -11;5\rangle$.

Inny sposób:

Skorzystaj z własności, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r\ge 0$ mamy: $|x-a|\le r$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a-r\le x\le a+r$.

Zadanie 9

Przedstaw podaną liczbę jako iloczyn liczby 9 i pewnej liczby naturalnej.

Wyciągnij przed nawias najmniejszą z przedstawionych potęg liczby 4. Otrzymasz iloczyn tej potęgi i pewnej liczby naturalnej.

Zadanie 10.1

Zauważ, że parabola, będąca wykresem danej funkcji kwadratowej, ma ramiona skierowane do góry.

Zwróć uwagę, że informacja o wartości minimalnej i argumencie, dla którego jest ona osiągana, pozwala nam wyznaczyć wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej z zadania.

Sporządź rysunek pomocniczy – naszkicuj wykres funkcji kwadratowej, korzystając z informacji podanych w zadaniu.

Zadanie 10.2

Skorzystaj najpierw z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, ponieważ masz współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem naszej funkcji.

Otrzymany wzór funkcji w postaci kanonicznej przekształć do postaci ogólnej.

Zadanie 10.3

Skorzystaj ze wzoru funkcji otrzymanego w zadaniu 10.2.

Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość 0.

Zadanie 11

Przypomnij sobie, że liczba $a$ we wzorze $y=\mathrm{ax}+b$ to współczynnik kierunkowy danej prostej.

Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, czyli $a_1\cdot a_2=-1$.

Zadanie 12

Oznacz niewiadomymi masy roztworów.

Skorzystaj z informacji, że łącznie otrzymano 15 litrów roztworu – ułóż odpowiednie równanie.

Porównaj masy substancji w poszczególnych roztworach – otrzymasz drugie równanie.

Rozwiąż otrzymany układ równań.

Zadanie 13.1

Zauważ, że z każdym rokiem przyrost zwiększa się o 0,5%, czyli wynosi 100,5% liczby ludności z poprzedniego roku.

Zadanie 13.2

Oblicz wartość funkcji otrzymanej w zadaniu 13.1. dla argumentu 3.

Inny sposób:

Wyznacz liczbę mieszkańców na koniec każdego kolejnego roku, czyli na koniec 2023, 2024, 2025.

Zadanie 14

Skorzystaj ze wzoru na procent składany.

Zauważ, że kapitalizacja odsetek dokonywana jest co kwartał.

Zwróć uwagę, że kwartalne oprocentowanie to $\frac{1}{4}\cdot 3\%$.

Zadanie 15

Zdanie pierwsze:

Wyznacz z podanego wzoru pięć jego pierwszych wyrazów, a następnie policz ich sumę.

Możesz również skorzystać ze wzoru na sumę początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego.

Zdanie drugie:

Wyznacz dziewiąty wyraz tego ciągu, czyli $a_9$.

Zadanie 16

Wyznacz współrzędne środków danych okręgów – skorzystaj z równania okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci kanonicznej:

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$

Skorzystaj ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$.

Zadanie 17

Zauważ, że na pierwszym miejscu nie może być cyfra 0.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 18.1

Przypomnij sobie, że liczba $a$ we wzorze $y=\mathrm{ax}+b$ to współczynnik kierunkowy danej prostej.

Skorzystaj z własności, że dwie proste o równaniach kierunkowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.

Przekształć równanie prostej $l$ do postaci kierunkowej.

Zadanie 18.2

Przypomnij sobie, że liczba $a$ we wzorze $y=\mathrm{ax}+b$ to współczynnik kierunkowy danej prostej.

Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, czyli $a_1\cdot a_2=-1$.

Zadanie 19

Skorzystaj z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu.

Zauważ, że suma $\left|\mathrm{BD}\right|+\left|\mathrm{CE}\right|=\left|\mathrm{BC}\right|$.

Zadanie 20

Skorzystaj ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”, czyli: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ oraz ze wzoru: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zadanie 21

Przypomnijmy, że stosunek pól brył podobnych w skali $k$ jest równy $k^2$, a stosunek ich objętości jest równy $k^3$.

Pamiętaj, że skala podobieństwa jest liczbą dodatnią.

Zadanie 22

Zauważ, że trójkąty $\mathrm{BOC}$, $\mathrm{AOB}$ oraz $\mathrm{AOC}$ są równoramienne.

Skorzystaj z własności o kącie wpisanym w okrąg i kącie środkowym, opartych na tym samym łuku.

Zadanie 23

Zauważ, że zaznaczony przekrój jest trójkątem równobocznym.

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ obliczysz ze wzoru:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Zadanie 24.1

Naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=-3x^2+7x-2$ i z otrzymanego wykresu odczytaj zbiór argumentów, dla których ta funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

Zauważ, że nierówność jest nieostra, pamiętaj o tym, zapisując przedział/przedziały.

Zadanie 24.2

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^2-4=0$ ma dwa rozwiązania: $x=2$, $x=-2$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: $-2$.

Zadanie 25

Zapisz sumę wszystkich kul.

Zwróć uwagę, że losujemy bez zwracania.

Skorzystaj z reguły mnożenia, żeby zapisać liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych tego doświadczenia oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, że wylosowano dwie kule czarne.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa i ułóż odpowiednie równanie.

Zadanie 26.1

Przypomnij sobie, że zysk jest to iloczyn ceny pomniejszonej o koszt produkcji jednej sztuki i ilości sprzedanych sztuk.

Oznacz jako niewiadomą cenę za jedną sztukę latarki.

Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji.

Zadanie 26.2

Zauważ, że funkcja wyznaczona w zadaniu 26.1 jest funkcją kwadratową.

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatem dana funkcja największą wartość osiąga w wierzchołku.

Zadanie 27

Pierwsze zdanie:

Skorzystaj ze wzoru na średnią arytmetyczną.

Drugie zdanie:

Skorzystaj ze średniej arytmetycznej, którą obliczyłeś do zdania pierwszego.

Zadanie 28

Wykonaj rysunek pomocniczy.

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny – jego podstawa jest trójkątem równobocznym.

Skorzystaj z własności, że odcinek łączący spodek wysokości z wierzchołkiem przy podstawie ostrosłupa ma długość $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta równobocznego będącego podstawą ostrosłupa.

Objętość tego ostrosłupa można policzyć ze wzoru $V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$, gdzie $P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ oraz $a$, $H$ to odpowiednio długość krawędzi podstawy i wysokości.