Zadanie 1

Przypomnijmy, że $|x-a|$ to odległość na osi liczbowej pomiędzy liczbami $x$ i $a$.

$\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}$

Na rysunku przedstawiono zbiór tych liczb, których odległość od 1,5 jest większa bądź równa 3,5. Taki warunek spełnia tylko nierówność z odpowiedzi B.

Zadanie 2

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia możemy zapisać jako pierwiastek iloczynu liczb znajdujących się pod pierwiastkami, w naszym zadaniu: $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{\mathrm{a<mo>\cdot </mo>b}}$

Pierwiastek trzeciego stopnia możemy obliczać także z liczb ujemnych. W zadaniu pod pierwszym pierwiastkiem jest liczba ujemna, a pod drugim pierwiastkiem jest liczba dodatnia, więc wynik mnożenia będzie liczbą ujemną, a to oznacza, że odpowiedzi B i C można od razu odrzucić jako błędne.

Zadanie 3

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2\mathrm{ab}+b^2$

Przypomnij sobie, że dwie kolejne liczby naturalne różnią się o 1.

Żeby pokazać, że liczba jest podzielna przez 8, trzeba ją przedstawić jako iloczyn liczby 8 i liczby całkowitej.

Zadanie 4

Obydwa logarytmy mają taką samą podstawę (liczbę 9), więc możemy skorzystać z własności:

${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(x\cdot y)\to {\log }_{9}27+{\log }_{9}3={\log }_9(27\cdot 3)$

Skorzystamy również ze wzoru:

${\log }_a{x}^r=r\cdot {\log }_{a}x\to {\log }_9{9}^2=2\cdot {\log }_{9}9$

${\log }_{9}9=1$, bo z definicji logarytmu $9^1=9$

Zadanie 5

Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia, odpowiednio:

${(a-b)}^2=a^2-2\mathrm{ab}+b^2$

oraz

${(a+b)}^2=a^2+2\mathrm{ab}+b^2$

Przed drugim wyrażeniem jest znak „minus”, zapisz więc drugie wyrażenie w nawiasie, a potem opuść nawias, zmieniając znaki wyrażeń z nawiasu na przeciwne.

${(2a-3)}^2-{(2a+3)}^2=(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9$

Zadanie 6

Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności przy dzieleniu obustronnym nierówności przez ($-5$). Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną, to po zmianie zwrotu nierówności otrzymamy nierówność równoważną danej.

Zadanie 7

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

W zadaniu mamy iloczyn trzech czynników:

$\sqrt{3}$, $x^2-2$, $x+3$

$\sqrt{3}\ne 0$, więc zerem musi być $x^2-2$ lub $x+3$.

Równanie $x^2-2=0$ ma dwa rozwiązania: $x=\sqrt{2}$, $x=-\sqrt{2}$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: $-\sqrt{2}$.

Zadanie 8

Pamiętaj o założeniu, że mianownik nie może być równy zero.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Zadanie 9

Żeby rozwiązać równanie, trzeba skorzystać z metody grupowania wyrazów:

$3x^2-2x^2-12x+8=0$

$x^2(3x-2)-4(3x-2)=0$

Pamiętaj, że równanie $x^2-4=0$ ma dwa rozwiązania: $x=-2$, $x=2$.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, wyrażenie $x^2-4$ można zapisać jako iloczyn $(x-2)(x+2)$.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Zadanie 10

Na rysunku przedstawione są dwie proste. Przypomnijmy, że równanie prostej w postaci kierunkowej ma postać $y=\mathrm{ax}+b$.

Prosta $y=\mathrm{ax}+b$ przecina oś OY w punkcie $(0,b)$, zauważ więc, że prosta przechodząca przez punkt $(0,-1)$ ma wyraz wolny $b=-1$. Otrzymujemy: $y=\mathrm{ax}-1$.

Podstawiamy do wzoru $y=\mathrm{ax}-1$ współrzędne punktu $(1,1)$, odpowiednio za $x$ i $y$.

Zadanie 11

Wzór na obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $\mathrm{Obw}=2a+2b$.

Zauważ, że w zadaniu jest informacja, że $a>b$, czyli bok $a$ jest dłuższy od boku $b$.

Zadanie 12.1

Przypomnijmy, że dziedzina funkcji $D_f$ to zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja jest określona.

Z wykresu dziedzinę funkcji odczytujemy rzutując prostokątnie wykres funkcji na oś OX.

Zwróć uwagę na końce wykresu – zamalowane lub puste kółka. Rzutując wykres na oś OX otrzymamy przedziały, których końce odpowiadają zamalowanym lub pustym kółkom.

Sumę przedziałów $[-6,-3)\cup [-3,1]\cup (1,5]$ zapisujemy jako jeden przedział $[-6,5]$.

Zadanie 12.2

Wartość funkcji odczytujemy z osi OY.

Dziedzinę funkcji przedstawionej w układzie współrzędnych zawężamy do przedziału $[-4,1]$.

Zauważ, że liczba 5 nie jest największą wartością funkcji w podanym przedziale, bo $f\left(1\right)=1$. Zwróć uwagę na zaznaczenie pustym kółeczkiem.

Zadanie 12.3

Przypomnijmy, że funkcja jest malejąca, gdy wraz ze wzrostem argumentów jej wartości maleją.

Przedział, w którym funkcja jest malejąca, odczytujemy z osi OX.

Zauważ, że nasza funkcja maleje w przedziale domkniętym obustronnie.

Zadanie 13

Jeśli współczynnik kierunkowy funkcji liniowej $y=\mathrm{ax}+b$ jest ujemny ($a<0$), to funkcja ta jest malejąca.

Wykres funkcji liniowej $y=\mathrm{ax}+b$ przecina oś OY w punkcie o współrzędnych $(0,b)$.

Zadanie 14

Współrzędne wierzchołka paraboli zapisujemy jako $W=(p,q)$.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej oznaczamy jako: $x_1$, $x_2$.

Przypomnijmy wzór podający zależność między pierwszą współrzędną paraboli, a miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, której wykresem jest dana parabola:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}$

Zadanie 15

Podstaw do wzoru za $n$ liczbę 4:

$a_n=2^n\cdot (n+1)$

$a_4=2^4\cdot (4+1)$

Pamiętaj o kolejności wykonywania działań: najpierw wykonaj dodawanie w nawiasie i oblicz $2^4$, a potem wykonaj mnożenie.

Zadanie 16

Skorzystaj z własności, że dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego ($a_n$) prawdziwa jest równość: ${\left(a_n\right)}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ dla $n\ge 2$.

Możesz również skorzystać z własności, że w danym ciągu geometrycznym iloraz $q$ jest stały, czyli w naszym zadaniu $\frac{9}{27}=\frac{a-1}{9}$. Z równości tej otrzymujesz równanie takie, jak w przedstawionym powyżej rozwiązaniu: $9^2=27\cdot (a-1)$.

Zadanie 17

Przypomnij sobie definicję ciągu arytmetycznego – to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o stałą liczbę $r$, zwaną różnicą ciągu arytmetycznego.

Zauważ, że różnica $r=-30$, suma wszystkich rat to suma osiemnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $S_{18}=8910$.

Pierwsza rata to pierwszy wyraz rozważanego ciągu arytmetycznego.

Skorzystaj ze wzoru na sumę $n$ – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{2\cdot a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$

Zadanie 18

Skorzystaj z definicji funkcji tangens dowolnego kąta: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$.

Podstaw odpowiednie współrzędne punktu $P$ do powyższego wzoru.

Zadanie 19

${\sin }^4\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^4$, analogicznie ${\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2$

Skorzystaj z tożsamości trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Zadanie 20

Kąty wewnętrzne rombu leżące naprzeciw siebie są przystające.

Oblicz miarę kąta ostrego w rombie – skorzystaj z własności, że suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym boku rombu jest równa $180°$.

Żeby obliczyć pole rombu skorzystaj ze wzoru: $P_{\mathrm{rombu}}=a^2\cdot \sin \alpha$.

Żeby obliczyć iloczyn długości przekątnych tego rombu, skorzystaj z innego wzoru na pole rombu:

$P_{\mathrm{rombu}}=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$, gdzie $d_1$, $d_2$ to długości przekątnych rombu.

Zadanie 21

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są przystające.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180°$.

W okręgu kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Zadanie 22

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa.

W trójkątach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

Korzystając ze skali podobieństwa, zwracaj uwagę na to, która figura do której jest podobna w tej skali. Jest to ważne przy zapisywaniu proporcji.

Zadanie 23

Przypomnijmy, że dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1\cdot a_2=-1$.

Żeby wyznaczyć punkt przecięcia dwóch prostych, należy rozwiązać układ równań złożony z równań tych prostych.

Zadanie 24

Przypomnijmy, że dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2$.

Jeżeli prosta przechodzi przez dany punkt, to współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej, czyli współrzędne podstawione w miejsce odpowiednich zmiennych danej prostej dadzą równość.

Zadanie 25

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.

Przekątną kwadratu o boku $a$ obliczamy ze wzoru $a\sqrt{2}$. Do obliczenia przekątnej kwadratu można też zastosować twierdzenie Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym $\cos \alpha$ to stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.

Zadanie 26

Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli jego podstawa jest kwadratem, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Funkcje trygonometryczne obliczamy w trójkącie prostokątnym $EWO$.

Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy iloraz długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy iloraz długości przyprostokątnej przylegającej do danego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Obliczając długości boków $H$ i $a$, korzystaj z trójkąta zaznaczonego na rysunku.

Obliczając długości boków $H$ i $a$, możesz również skorzystać z własności dla trójkąta prostokątnego o kątach ostrych $30°$, $60°$:

Zadanie 27

W ostrosłupie liczba wszystkich krawędzi jest dwa razy większa od liczby krawędzi w podstawie. Liczba wierzchołków jest o jeden większa niż liczba krawędzi w podstawie.

Zadanie 28

Pierwszą cyfrą (cyfrą dziesiątek tysięcy) nie może być zero, bo wówczas nie otrzymamy liczby pięciocyfrowej.

Przypomnijmy regułę mnożenia: żeby obliczyć liczbę wszystkich możliwości w doświadczeniu wieloetapowym, mnożymy przez siebie liczbę wyników możliwych do uzyskania na pojedynczych etapach. W tym zadaniu, żeby otrzymać liczbę wszystkich liczb o zadanych warunkach, mnożymy liczbę możliwych uzupełnień kolejnych cyfr tej liczby.

Zadanie 29.1

Pamiętaj – wyznaczając medianę trzeba uporządkować dane od wartości najmniejszej do wartości największej.

W przypadku parzystej liczby danych, jak w naszym zadaniu, medianę obliczamy jako średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wartości środkowych. U nas są to wartości 5,70 oraz 6,00 z miejsc ósmego i dziewiątego.

Zadanie 29.2

Przypomnijmy, że średnią arytmetyczną $\bar{x}$ z liczb $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ obliczamy ze wzoru:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Pamiętaj o pomnożeniu danej 5,05 przez 2, bo dana 5,05 występuje dwa razy.

Podobnie pozostałe dane:

• $\mathrm{5,60}\cdot 4$ – dana 5,60 występuje cztery razy,
• $\mathrm{5,70}\cdot 2$ – dana 5,70 występuje dwa razy,
• $\mathrm{6,00}\cdot 5$ – dana 6,00 występuje pięć razy,
• $\mathrm{6,30}\cdot 3$ – dana 6,30 występuje trzy razy.

Zadanie 30

Losowanie jest ze zwracaniem, więc zarówno pierwszą, jak i drugą liczbę możemy wylosować na osiem sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy $8\cdot 8=64$ możliwych wyników tego doświadczenia (wszystkich zdarzeń elementarnych).

Zauważ, że w zadaniu istotna jest kolejność, więc rozróżniamy wyniki: 3 i 5 oraz 5 i 3.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru: $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$.

W zadaniu możesz narysować tabelkę i w niej zaznaczyć zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A.

Zadanie 31.1

We wzorze funkcji $L\left(n\right)$, w wyrażeniu „$-n^2$” znaku minus nie podnosimy do kwadratu.

Zadanie 31.2

Liczba $p$ jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji z zadania.

Funkcja $L\left(n\right)$ jest funkcją kwadratową. Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół (współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji jest ujemny), więc wartość największą $f\left(p\right)$ funkcja przyjmuje dla $n=p$, gdy $n$ spełnia założenia naszego zadania, czyli jest liczbą naturalną, spełniającą warunki $n\ge 1$ i $n\le \mathrm{30}$.