Zadanie 1

Oblicz podane liczby.

Zauważ, że $0,\left(3\right)=\frac{1}{3}$.

Skorzystaj z definicji logarytmu.

Przypomnij sobie, że $\sqrt{a}=a\frac{1}{2}$.

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 2

Zauważ, że:

jeśli $x<y$ i $a>1$, to $a^x<a^y$

oraz

jeśli $x<y$ i $0<a<1$, to $a^x>a^y$

Zadanie 3.1

Zauważ, że jeśli cena wzrosła o 20%, to nowa cena wynosi 120% ceny początkowej.

Zadanie 3.2

Oblicz, jakim procentem liczby 4,5 jest różnica cen styczniowej i kwietniowej.

Zadanie 3.3

Przyjmij oznaczenia: $x$ – liczba wyjazdów na działkę przed pierwszą podwyżką, $y$ – liczba wyjazdów na działkę po pierwszej podwyżce.

Zauważ, że jadąc i wracając z działki, państwo Wiśniewscy pokonują 100 km, czyli spalają 8 l benzyny.

Zadanie 4

Zauważ, że liczba $-\frac{1}{2}$ nie należy do przedział będącego rozwiązaniem danej nierówności – puste kółeczko.

Zadanie 5

Skorzystaj z wzorów skróconego mnożenia:

${(x-y)}^2=x^2-2\mathrm{xy}+y^2$

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$

Zadanie 6

Pomnóż nawiasy i doprowadź wielomian do postaci $W\left(x\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+d$. Współczynniki wielomianu to w tym przypadku $a$, $b$, $c$, $d$. Otrzymasz te współczynniki jako konkretne liczby.

Zadanie 7

Dzielenie wyrażeń wymiernych wykonujemy tak samo jak dzielenie ułamków zwykłych.

Wyznaczając dziedzinę, pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny także dla odwrotności dzielnika.

Zadanie 8

Każdą liczbę całkowitą $x$, która nie jest podzielna przez $3$, można zapisać w postaci $3k+1$ lub $3k+2$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Zadanie 9

Zauważ, że logarytmy z zadania mają takie same podstawy.

Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów.

Zadanie 10

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^2-5=0$ ma dwa rozwiązania: $x=\sqrt{5}$, $x=-\sqrt{5}$. Nie zapomnij o rozwiązaniu: $-\sqrt{5}$.

Równanie $x^2+3=0$ nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 11

Zauważ, że wykres funkcji liniowej $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ przecina oś $\mathrm{OY}$ w punkcie $(0,b)$.

Z rysunku odczytujemy, że punkt przecięcia funkcji $f$ z osią $\mathrm{OY}$ jest równy $(0,2)$.

Wykres naszej funkcji liniowej przechodzi przez punkt $(3,4)$. Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru tej funkcji.

Zadanie 12.1

Skorzystaj ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)$.

Zadanie 12.2

Naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=-2x^2+3x+5$ i z otrzymanego wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności z tematu zadania. Następnie z rozwiązania wybierz tylko liczby całkowite.

Zwróć uwagę, że końce przedziału do niego należą.

Zadanie 13.1

Zauważ, że z warunków zadania otrzymujemy, że $K_t=2\cdot K_0$ oraz $t=7$.

Zadanie 13.2

Wzrost kapitału jest wykładniczy, zatem można odrzucić dwie odpowiedzi z wykresami, które nie przedstawiają wzrostu wykładniczego.

Sprawdź, na którym wykresie zaznaczono kapitał początkowy $K_0=100$.

Zadanie 14

Zdanie pierwsze:

Żeby obliczyć $a_{12}$, skorzystaj ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$.

Zdanie drugie:

Skorzystaj ze wzoru:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$

Zadanie 15

Oblicz dwa pierwsze wyrazy ciągu $b_n$.

Dla ciągu arytmetycznego ustal różnicę $r$ oraz wyraz $a_1$.

Przypomnijmy wzór na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$.

Zadanie 16

Zdanie pierwsze:

Zauważ, że kąt $\alpha$ jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny.

Zdanie drugie:

Skorzystaj ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”, czyli: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ oraz ze wzoru: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zadanie 17.1

Zauważ, że trójkąt $\mathrm{AOB}$ jest równoramienny.

Miarę kąta $\mathrm{AOB}$ oblicz, korzystając z własności o kącie wpisanym w okrąg i kącie środkowym w okręgu, opartych na tym samym łuku.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta o danych bokach $a$ i $b$ i kącie $\alpha$ zawartym między tymi bokami: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

Zadanie 17.2

Zdanie pierwsze:

Skorzystaj z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $\mathrm{AOB}$.

Zdanie drugie:

Zauważ, że średnica okręgu ma długość 10.

Zadanie 18

Sporządź rysunek pomocniczy.

Przypomnij sobie, że przekątne w rombie są do siebie prostopadłe i dzielą się na połowy.

Zadanie 19

Skorzystaj z twierdzenia Talesa albo z podobieństwa trójkątów.

Zadanie 20

Średnicę okręgu oblicz, korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

$\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$

Zadanie 21

Przypomnijmy, że stosunek objętości brył podobnych w skali $k$ jest równy $k^3$.

Skorzystaj ze wzoru na objętość graniastosłupa $V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość graniastosłupa.

Zadanie 22

Zaznacz na rysunku kąt z zadania.

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny – jego podstawa jest kwadratem.

Skorzystaj z trójkąta prostokątnego, którego bokami jest wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy oraz krawędź boczna.

Zadanie 23.1

Liczba czterocyfrowa ma być parzysta, więc ostatnią cyfrą w jej zapisie dziesiętnym jest cyfra parzysta.

Zauważ, że w zapisie dziesiętnym liczby czterocyfrowej występuje dokładnie jedna liczba parzysta.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 23.2

Rozpatrz trzy przypadki:

1. Pierwsza cyfra jest nieparzysta.
2. Druga cyfra jest nieparzysta.
3. Trzecia cyfra jest nieparzysta.

Zauważ, że ostatnia cyfra musi być parzysta.

Cyfrą tysięcy nie może być cyfra 0.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 24

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dwa różne dzielniki – jedynkę i samą siebie.

Uważaj – cyfra 1 nie jest liczbą pierwszą.

Sporządź tabelkę przedstawiającą możliwe wyniki dwukrotnego rzutu symetryczną kostką do gry – nie musisz zaznaczać wszystkich zdarzeń elementarnych – zaznacz te, o których jest mowa w poleceniu.

Zapisz liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 25

Zauważ, że suma przyprostokątnych rozważanego trójkąta wynosi 20.

Sporządź pomocniczy rysunek i oznacz niewiadomymi $a$, $b$ przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ – przeciwprostokątną.

Nie zapomnij o założeniach dla $a$.

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i zapisz długość przeciwprostokątnej $c$ za pomocą $a$.

Jeśli wyznaczysz wartość argumentu $a$, dla której wielkość $c^2$ będzie najmniejsza, to dla tego samego argumentu $a$ najmniejsza będzie wielkość $c$.