Matura - arkusze - matematyka. Materiały do książki

Wskazówki - arkusz 1

Zadanie 1

Sumę potęg zastąp iloczynem.

Otrzymany iloczyn przedstaw jako potęgę o podstawie 7.

Skorzystaj z własności:

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

Zadanie 2

Skorzystaj z wzoru na procent składany.

Dla uproszczenia obliczeń przyjmij konkretną liczbę jako kwotę początkową.

Zadanie 3

Wyłącz czynniki spod znaków pierwiastków, tak aby otrzymać wyrażenie z $\sqrt{3}$ .

Skorzystaj z wzoru $a \frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}$ , gdy $a \geq 0$ – liczba całkowita dodatnia i $n \geq 2$ .

Zadanie 4

Skorzystaj z definicji logarytmu i oblicz wartości logarytmów z zadania

albo

zauważ, że logarytmy z zadania mają takie same podstawy.

Skorzystaj z własności logarytmów:

$p \cdot \log_{a} b = {\log_{a} b}^{p}$

$\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)$

Zadanie 5

Żeby pokazać, że liczba jest podzielna przez 8, trzeba ją zapisać w postaci $8 k$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną.

Przypomnijmy, że kolejne liczby naturalne nieparzyste różnią się o 2 i cztery kolejne takie liczby można zapisać w postaci: $2 n + 1, 2 n + 3, 2 n + 5, 2 n + 7$ , gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną.

Zadanie 6

Usuń niewymierności z mianowników obu ułamków – skorzystaj z wzoru $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Zadanie 7

Rozwiąż podaną nierówność – możesz pomnożyć obie jej strony tak, aby usunąć mianowniki.

Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności przy obustronnym jej mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną.

Zadanie 8

Zauważ, że wyrażenie $2 x + 6$ można zapisać jako $2 (x + 3)$ .

Skróć czynniki występujące w wyrażeniu.

Zadanie 9

Zauważ, że nierówność z zadania jest kwadratowa.

Naszkicuj pomocniczo wykres funkcji $y = - 3 x^{2} + 5 x + 2$ .

Przypomnijmy, że gdy we wzorze funkcji kwadratowej $y = a x^{2} + b x + c$ współczynnik $a < 0$ , to ramiona paraboli zwrócone są do dołu.

Zadanie 10

Skorzystaj z własności proporcji i zapisz dane równanie jako:

$(1 - x) (x - 2) = 6 (2 x + 1)$

Podając liczbę jako rozwiązanie, upewnij się, czy ta liczba należy do dziedziny równania.

Zadanie 11

Najpierw rozwiąż dane równanie.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie $x^{2} - 1 = 0$ ma dwa rozwiązania: $x = 1$ , $x = - 1$ . Nie zapomnij o rozwiązaniu: $- 1$ .

Zauważ, że równanie $x^{2} + 4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 12

Przypomnijmy, że dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Prosta będąca wykresem funkcji $y = a x + b$ przecina oś $O Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, b)$ .

Zadanie 13

Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji liniowej

y = a x + b

można obliczyć ze wzoru

- \frac{b}{a}

Zadanie 14.1

Odczytaj z wykresu drugą współrzędną wierzchołka paraboli.

Narysuj prostą równoległą do osi $O X$ i przechodzącą przez wierzchołek paraboli.

Odczytaj z osi $O Y$ zbiór wartości.

Zadanie 14.2

Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji kwadratowej, której wykresem jest dana parabola.

Zauważ, że ramiona paraboli są zwrócone do góry.

Skorzystaj z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

Zadanie 14.3

Aby otrzymać wykres funkcji $g (x) = f (x - 3)$ , należy wykres funkcji $f (x)$ przesunąć o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi $O X$ .

Zadanie 15

Zauważ, że piąty wyraz ciągu zapisujemy jako

a_{5}

. Wykonaj odpowiednie podstawienie.

Zadanie 16

Przypomnij sobie, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy jego różnica $r$ jest liczbą dodatnią, a jest malejący, gdy różnica $r$ jest liczbą ujemną.

Skorzystaj z własności, że dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego ( $a_{n}$ ) prawdziwa jest równość: $a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$ dla $n \geq 2$ .

Możesz również skorzystać z własności, że w danym ciągu arytmetycznym różnica r jest stała, czyli w naszym zadaniu -2m-6-(-3)=3m+26-(-2m-6).

Zadanie 17

Skorzystaj z własności, że dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ prawdziwa jest równość: ${(a_{n})}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ dla $n \geq 2$ .

Możesz również skorzystać z własności, że w danym ciągu geometrycznym iloraz $q$ jest stały, czyli w naszym zadaniu $\frac{2 x}{x - 3} = \frac{7 x - 9}{2 x}$ .

Zadanie 18

Zwróć uwagę, że kąt $α$ jest ostry.

Skorzystaj z wzorów:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

tgα=sinα/cosα

Zadanie 19

Odczytaj współrzędne zaznaczonego punktu leżącego na drugim ramieniu przedstawionego kąta.

Zauważ, że kąt $α \in (90 °, 180 °)$ , zatem tylko sinus tego kąta może być dodatni.

Skorzystaj z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.

Zadanie 20

Wyznacz miarę kąta ostrego w podanym rombie.

Do rozwiązania zadania przydadzą się następujące wzory na pole rombu: $P = a ∙ h$ oraz $P = \frac{d_{1} \cdot d 2}{2}$ , gdzie $d_{1}$ , $d_{2}$ to przekątne rombu, a $h$ to wysokość rombu opuszczona na jego bok $a$ .

Zadanie 21

Połącz odcinkiem punkty $A$ i $S$ .

Zauważ, że trójkąt $A B S$ jest trójkątem równoramiennym.

Skorzystaj z twierdzenia o związku między miarą kąta wpisanego, a miarą kąta środkowego opartych na tym samym łuku okręgu.

Zadanie 22

Przypomnijmy, że proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Zadanie 23

Równanie okręgu o środku

S = (a, b)

i promieniu

r > 0

zapisujemy wzorem:

Zadanie 24

Wyznacz pole trójkąta $T_{1}$ oraz skalę podobieństwa danych trójkątów

albo

wyznacz skalę podobieństwa danych trójkątów oraz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta $T_{2}$ .

Zadanie 25

Przypomnijmy, że wzór na długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości $a$ wyraża się wzorem: $a \sqrt{3}$ .

Zadanie 26

Sporządź rysunek ostrosłupa z zadania i zaznacz na nim kąt, o którym mowa w zadaniu.

Zaznacz na rysunku trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest kąt, o którym mowa w zadaniu, jednym z boków jest wysokość ostrosłupa, a drugim bokiem krawędź boczna ostrosłupa.

Zauważ, że w podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny.

Przypomnijmy, że odcinek łączący spodek wysokości z wierzchołkiem podstawy stanowi $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta równobocznego z podstawy ostrosłupa.

Zadanie 27

Zapisz związek pomiędzy liczbą wierzchołków, a liczbą krawędzi ostrosłupa.

Zadanie 28

Przypomnijmy, że wszystkich cyfr jest dziesięć, a cyfry parzyste to: 0, 2, 4, 6, 8.

Pamiętaj, że na pierwszym miejscu (cyfra tysięcy) nie może być 0.

Cyfrą jedności może być: 0, 2, 4, 6, 8.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 29

Wyznacz wszystkie możliwe wyniki dwukrotnego rzutu kostką – możesz przedstawić je w tabeli.

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. Najmniejszą liczbą pierwszą jest liczba 2.

Skorzystaj z wzoru: $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}$ .

Zadanie 30

Przypomnijmy, że:

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ jest:
– dla $n$ nieparzystych: $a_{\frac{n + 1}{2}}$ (środkowy wyraz ciągu)
– dla $n$ parzystych: $\frac{1}{2} \cdot (a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1})$ (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu)

(z: Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, CKE)

Zauważ, że dominantą będzie wartość, która powtarza się najczęściej.

Zadanie 31

Zapisz związek między wymiarami narysowanego prostokąta.

Zapisz wzór na pole prostokąta będącego sumą dwóch mniejszych prostokątów, w zależności od jednej zmiennej.

Oblicz argument, dla którego otrzymana funkcja przyjmuje wartość największą.

Pamiętaj o założeniach.

« wszystkie materiały do tej książki