Zadanie 1

Zapisz wyrażenia z licznika i mianownika jako potęgi o podstawie 5.

Skorzystaj z własności:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

Zadanie 2

Liczbę logarytmowaną przedstaw jako jedną potęgę o podstawie 10.

Skorzystaj z własności:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}$, dla $a\ge 0$

Zauważ, że w zadaniu przedstawiony jest logarytm dziesiętny.

Zadanie 3

Oznacz jako niewiadomą cenę samochodu przed obniżkami.

Zapisz cenę samochodu kolejno po pierwszej i po drugiej obniżce.

Zadanie 4

Żeby rozwiązać to równanie, trzeba skorzystać z własności, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Pamiętaj, że równanie $x^2+4=0$ nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 5

Zauważ, że wykres danej funkcji przechodzi przez punkt $(-3,0)$. Możesz też skorzystać z definicji miejsca zerowego funkcji.

Zadanie 6.1

Zdanie 1:

Narysuj oś symetrii danej paraboli na przedstawionym rysunku.

Zauważ, że miejsca zerowe funkcji są symetryczne względem osi $\mathrm{OY}$.

Odczytaj współrzędne wierzchołka paraboli.

Zdanie 2:

Skorzystaj z tego, że mamy współrzędne wierzchołka paraboli (postać kanoniczna funkcji kwadratowej) albo z informacji o miejscach zerowych danej funkcji (postać iloczynowa funkcji kwadratowej).

Zadanie 6.2

Skorzystaj z przedstawionego w zadaniu wykresu funkcji $f$ i odczytaj z niego zbiór tych argumentów $x$, dla których wykres znajduje się poniżej osi $\mathrm{OX}$.

Zadanie 6.3

Zbiór wartości funkcji $f$ odczytaj, korzystając z przedstawionego wykresu funkcji.

Zadanie 7

Rozwiąż podaną nierówność.

Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności przy obustronnym mnożeniu jej przez liczbę ujemną.

Zadanie 8

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Powyższy wzór możesz zapisać w postaci: ${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$. Podstaw do niego wartości z tematu zadania.

Zadanie 9

Zauważ, że współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe.

Jeśli prosta przechodzi przez jakiś punkt, to współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej.

Zadanie 10

Skorzystaj z definicji miejsca zerowego.

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f$ i wykonaj odpowiednie podstawienie do wzoru funkcji $g$.

Inny sposób:

Możesz wyznaczyć miejsca zerowe obu funkcji $f$ i $g$ i zapisać odpowiednią równość.

Zadanie 11.1

Narysuj na przedstawionym układzie współrzędnych prostą o równaniu $y=-2$.

Odczytaj argumenty $x$ współrzędnych punktów wspólnych danego wykresu i narysowanej prostej.

Zadanie 11.2

Odczytaj odpowiednie argumenty $x$ z wykresu.

Pamiętaj, że w tym zadaniu dziedzinę zawężamy do przedziału domkniętego $\langle 0,3\rangle$.

Zadanie 12

Zdanie 1:

Oblicz wartość funkcji dla argumentów np. $x=1$, $x=2$.

Sprawdź, czy współrzędne otrzymanych punktów $(x,y)$ należą do przedstawionego wykresu funkcji.

Zdanie 2:

Wykres funkcji $f$ zbliża się do osi $x$, ale nigdy jej nie przetnie.

Zadanie 13

Skorzystaj ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$.

Zadanie 14

Skorzystaj z własności ciągu geometrycznego:

jeśli $(a,b,c)$ – ciąg geometryczny to $b^2=\mathrm{ac}$.

Zadanie 15

Skorzystaj ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Inny sposób:

Możesz skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, narysować trójkąt prostokątny i oznaczyć w nim odpowiednio boki. Pamiętaj, że wartości funkcji trygonometrycznych w rozpatrywanym trójkącie nie zależą od długości jego boków, ale od wielkości kąta $\alpha$.

Zadanie 16

Oblicz pole danego trójkąta ze wzoru: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$, o danych bokach $a$ i $b$ i kącie $\alpha$ zawartym między tymi bokami.

Brakujący bok oblicz, korzystając z twierdzenia cosinusów.

Skorzystaj z otrzymanych wyników do wyboru fałszywego zdania.

Zadanie 17

Zauważ, że suma miar kątów oznaczonych jako $x$ i $y$ jest równa $90°$ – własność o kącie wpisanym w okrąg opartym na półokręgu. Korzystając z tej informacji, możesz odrzucić dwie błędne odpowiedzi.

Skorzystaj z własności o kącie wpisanym w okrąg i kącie środkowym, opartych na tym samym łuku.

Zadanie 18

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta równobocznego i oblicz długość $a$ boku tego trójkąta.

Wysokość trójkąta równobocznego możesz obliczyć ze wzoru:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zadanie 19

Skorzystaj ze wzoru na długość przekątnej sześcianu $d=a\sqrt{3}$ oraz ze wzoru na objętość sześcianu $V=a^3$, gdzie a to długość boku danego sześcianu.

Zadanie 20

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zauważ, że w zapisie używamy wyłącznie cyfr: 0, 1, 2, 3, 4.

Na pierwszej pozycji (cyfra setek) nie może być cyfra 0.

Zwróć uwagę, że cyfry mogą się powtarzać.

Zadanie 21

Skorzystaj ze wzoru na średnią arytmetyczną i ułóż odpowiednie równanie.

Zadanie to możesz też rozwiązać sprawdzając, dla którego $x$ z podanych odpowiedzi średnia arytmetyczna wynosi $5$.

Zadanie 22

Oblicz długość przekątnej $\mathrm{AC}$ – skorzystaj ze wzoru na długość odcinka, gdy dane są współrzędne jego końców.

Skorzystaj ze wzoru na długość przekątnej kwadratu o boku długości $a$, czyli: $a\sqrt{2}$ i oblicz $a$.

Zadanie 23

Oblicz $x$, opuszczając symbol wartości bezwzględnej – skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x\right|={\{}_{-x\text{ dla }x<0}^{\phantom{-}x\text{ dla }x\ge 0}$

Zwróć uwagę na zmianę znaków – w wartości bezwzględnej jest liczba ujemna.

Przypomnijmy, że $2\frac{1}{2}=\sqrt{2}$.

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 24

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dwa różne dzielniki – jedynkę i samą siebie.

Uważaj – cyfra 1 nie jest liczbą pierwszą.

Sporządź tabelkę przedstawiającą możliwe wyniki dwukrotnego rzutu symetryczną kostką do gry – nie musisz zaznaczać wszystkich zdarzeń elementarnych – zaznacz te, o których jest mowa w poleceniu.

Zapisz liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 25.1

Zauważ, że jeśli amplituda $H$ wzrośnie tysiąckrotnie, to będzie wynosić $1000H$ – podstaw tę wielkość do wzoru podanego w zadaniu.

Skorzystaj ze wzoru:

${\log }_a(x\cdot y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

dla dowolnych liczb rzeczywistych $x>0$, $y>0$ oraz $a>0$ i $a\ne 0$.

Zadanie 25.2

Zauważ, że $S+5=S+{\log 10}^5$.

Skorzystaj ze wzoru:

${\log }_a(x\cdot y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

dla dowolnych liczb rzeczywistych $x>0$, $y>0$ oraz $a>0$ i $a\ne 0$.

Zadanie 26

Zauważ, że trójkąt $\mathrm{ADB}$ jest połową trójkąta równobocznego o kącie $\mathrm{ADB}$ równym $60°$.

Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Zadanie 27.1

Wyznacz wyraz $a_{n+1}$

Oblicz iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_1}$ i zauważ, że jest on stałą liczbą.

Zadanie 27.2

Zauważ, że czwarty wyraz ciągu to $a_4$, oblicz więc wartość podanego wzoru dla $n=4$.

Zadanie 28.1

Zauważ, że długość promienia jest liczbą dodatnią – możesz zatem odrzucić dwie spośród podanych odpowiedzi.

Skorzystaj z równania okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci kanonicznej:

${(x-a)}^{\mathrm{2<!--<mn-->}}+{(y-b)}^{\mathrm{2<!--<mn-->}}=r^2$.

Zadanie 28.2

Wyznacz współrzędne środka danego okręgu – skorzystaj z równania okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci kanonicznej:

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$.

Skorzystaj ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$.

Zadanie 29

Sporządź pomocniczy rysunek – zaznacz na nim odpowiednie dane.

Wyznacz długość dłuższej podstawy – skorzystaj np. z funkcji trygonometrycznych.

Wyznacz długość krótszej przekątnej trapezu – skorzystaj np. z twierdzenia Pitagorasa.

Teraz możesz policzyć krótszą podstawę oraz wysokość trapezu.

Mając powyższe dane, możesz obliczyć długość dłuższej przekątnej i pole trapezu z zadania.

Zadanie 30.1

Zauważ, że populacja podwaja swą liczebność co 10 minut, zatem 10 minut traktujemy jako jedną jednostkę czasową. $60\text{ minut }=6\cdot 10\text{ minut }$, możesz więc wyznaczyć $x$.

Zwróć uwagę, że początkowo populacja liczyła 100 organizmów – otrzymujesz $k$.

Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru.

Zadanie 30.2

Zauważ, że początkowa objętość to $k=4{\mathrm{cm}}^2$.

Zwróć uwagę, że objętość podwaja się co 30 minut, zatem 30 minut traktujemy jako jedną jednostkę czasową.

Oblicz, ile naszych jednostek czasowych zmieści się w 12 godzinach.

Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru.

Uwaga – wynik należy przedstawić w postaci potęgi liczby 2.

Zadanie 31

Zwróć uwagę, że podstawa prostopadłościanu jest prostokątem – zapisz kwadrat długości przekątnej tej podstawy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Trójkąt o bokach $x,c,d$ jest prostokątny – skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie 32

Sporządź rysunek przedstawiający przekrój osiowy stożka z zadania – jest to trójkąt prostokątny równoramienny.

Zauważ, że podstawa tego trójkąta to $l\sqrt{2}$, gdzie $l$ to długość tworzącej stożka.