Matura - arkusze - matematyka

Wskazówki - arkusz 3

Zadanie 1

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ( a - b ) ( a + b ) = a 2 - b 2 .

Przypomnijmy, że  a - 1 = 1 a dla a 0 .

Zauważ, że  ( a ) 2 dla a 0 .

Zadanie 2

Skorzystaj ze wzoru na procent składany.

Dla uproszczenia obliczeń, przyjmij konkretną liczbę jako kwotę początkową, np. 1000 zł.

Zadanie 3

Zauważ, że rozwiązaniem będzie przedział/przedziały otwarte.

Przypomnijmy, że  | x - a | to odległość na osi liczbowej pomiędzy liczbami x a .

| x + 1 | = | x - ( - 1 ) | , więc nierówność można zapisać w postaci: | x - ( - 1 ) | 2 .

Zaznacz na osi liczbowej liczbę - 1 , a następnie dwie liczby, które są odległe od - 1 dokładnie o  2 jednostki.

Uważaj na znak przed liczbą 1 – zapis | x + 1 | oznacza odległość pomiędzy x - 1 .

 

Inny sposób:

Możesz skorzystać z własności: dla dowolnych liczb rzeczywistych a oraz r 0 mamy:

| x - a | r wtedy i tylko wtedy, gdy x a - r lub x a + r .

Zadanie 4

Wyciągnij przed nawias najmniejszą z przedstawionych potęg liczby 9. Otrzymasz iloczyn tej potęgi i pewnej liczby naturalnej.

Zadanie 5.1

Odczytaj odpowiednie dane z wykresu – zwróć uwagę na opisy osi układu.

Zadanie 5.2

Zauważ, że szukana funkcja jest funkcją liniową.

Odczytaj z układu współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji k ( f ) z osią OY oraz współrzędne jeszcze jednego, innego punktu należącego do wykresu tej funkcji.

Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru funkcji liniowej.

Zadanie 6

Skorzystaj ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Zauważ, że do wykresu funkcji f należy punkt ( 0 , 4 ) .

Uwaga – wzór funkcji f w odpowiedzi ma być podany w postaci kanonicznej.

Zadanie 7

Naszkicuj wykres funkcji f ( x ) = x 2 + 4 x + 4 i z otrzymanego wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności z tematu zadania.

 

Inny sposób:

Zauważ, że  x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 , zatem nierówność możesz zapisać jako ( x + 2 ) 2 > 0 i z tej postaci podać rozwiązanie.

Zadanie 8

Przypomnijmy, że funkcja liniowa f ( x ) = ax + b jest rosnąca, gdy a > 0 .

Zadanie 9

Skorzystaj z własności, że dwie proste o równaniach kierunkowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.

Zadanie 10

Przypomnijmy, że dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały i różny od 0.

Zadanie 11

Oblicz wskazane w zadaniu wyrazy a 1 , a 2 , a 4 .

Skorzystaj ze wzoru na średnią arytmetyczną.

Zadanie 12

Aby rozwiązać to zadanie, należy wyznaczyć taką liczbę naturalną dodatnią n , dla której a n = 0 .

Rozwiąż równanie: - n 2 + 3 n - 2 = 0 .

Uważaj – w przypadku ciągów n musi być liczbą naturalną dodatnią.

Zadanie 13

Wyznacz wyraz a n + 1

Przypomnijmy, że:

  • jeśli różnica a n + 1 - a n jest stałą liczbą, to ciąg będzie arytmetyczny,
  • jeśli różnica a n + 1 - a n będzie liczbą ujemną, to ciąg będzie malejący,
  • jeśli iloraz a n + 1 a n będzie stałą liczbą, to ciąg będzie geometryczny.

Sprawdź powyższe możliwości.

Zadanie 14

Zwróć uwagę, że największy kąt tego trójkąta to 90 ° .

Rozwiąż to zadanie, sprawdzając kolejne odpowiedzi, czy spełniają warunki zadania – miary kątów są wyrazami ciągu arytmetycznego.

Możesz również skorzystać z definicji ciągu arytmetycznego i ułożyć odpowiednie równanie. Pamiętaj, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180 ° .

Zadanie 15

Oblicz wartości logarytmów podanych w zadaniu, korzystając np. z definicji logarytmu albo z własności p log a b = log a b p .

Zauważ, że w ciągu geometrycznym a 1 q = a 2 .

Zadanie 16

Zdanie pierwsze:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 oraz ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”: sin 2 α + cos 2 α = 1 .

 

Zdanie drugie:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ( a - b ) ( a + b ) = a 2 - b 2 oraz ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”: sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Zadanie 17

Oblicz wartość cos α , korzystając ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”, czyli: sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Zauważ, że  α jest kątem rozwartym, więc cosinus tego kąta jest liczbą ujemną.

tg α obliczysz, korzystając ze wzoru:

tg α = sin α cos α

Zadanie 18

Sporządź rysunek pomocniczy.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta, o danych bokach a b i kącie α zawartym między tymi bokami: P = 1 2 a b sin α .

Zadanie 19

Sporządź rysunek pomocniczy.

Skorzystaj ze wzoru na obwód okręgu i oblicz r .

Zauważ, że przekątna d danego kwadratu wynosi: d = 2 r .

Zadanie 20

Skorzystaj ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: | AB | = ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2 , gdzie A = ( x A , y A ) oraz B = ( x B , y B ) .

Pole trójkąta równobocznego o boku a obliczysz ze wzoru: P = a 2 3 4 .

Zadanie 21

Wypisz wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia losowego.

Policz wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu, że orzeł wypadnie więcej razy niż reszka.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 22

Wykonaj rysunek pomocniczy.

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny – jego podstawa jest kwadratem.

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa można policzyć ze wzoru P c = a 2 + 4 1 2 ah , gdzie a , h to odpowiednio długość krawędzi podstawy i wysokość.

Oblicz długość krawędzi podstawy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.

Zadanie 23.1

Szukany kąt to kąt pomiędzy przekątną całego graniastosłupa a przekątną jego podstawy.

Zadanie 23.2

Sporządź rysunek pomocniczy.

Zauważ, że graniastosłup jest prawidłowy czworokątny – jego podstawa jest kwadratem.

Skorzystaj z trójkąta prostokątnego z zadania 23.1, utworzonego przez przekątną całego ostrosłupa, przekątną jego podstawy oraz jego wysokość i oblicz brakujące długości boków tego trójkąta.

Oblicz długość krawędzi podstawy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.

Pole całkowite możesz obliczyć ze wzoru: P c = 2 a 2 + 4 aH , gdzie a H to odpowiednio krawędź podstawy i wysokość danego graniastosłupa.

Objętość możesz policzyć ze wzoru: V = a 2 H , gdzie a H to odpowiednio krawędź podstawy i wysokość danego graniastosłupa.

Zadanie 24

Zauważ, że w zadaniu mamy do czynienia z funkcją kwadratową.

Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji h , i uzupełnij zdania.

Zadanie 25

Skorzystaj z metody grupowania wyrazów.

Zapisz lewą stronę równania jako iloczyn czynników.

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Zadanie 26.1

Skorzystaj z twierdzenia Talesa albo z podobieństwa trójkątów.

Zadanie 26.2

Zauważ, że trójkąty ACB AED są podobne, zapisz odpowiednią cechę podobieństwa. Skorzystaj z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC .

Zadanie 27

Zauważ, że promień r okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi r = 1 3 h , natomiast promień R okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to R = 2 3 h , gdzie h to wysokość trójkąta równobocznego.

Stosunek pewnych wielkości to inaczej iloraz tych wielkości.

Zadanie 28.1

Oblicz, jaką część stanowiły ówcześnie rynki pieniężne. Otrzymany wynik podziel równo na trzy pozostałe kategorie.

Zadanie 28.2

Oblicz odpowiedni procent z liczby 134 mln zł.

Uwaga – obliczenie wykonaj dla danych przed dokonaniem redukcji!

Zadanie 28.3

Skorzystaj z proporcji albo ułóż odpowiednie równanie, gdzie niewiadomą jest liczba procent.

Zadanie 29

Wykonaj pomocniczy rysunek i oznacz niewiadomymi długości boków prostokąta. Pamiętaj, że jeden bok przylega do ściany budynku.

Zauważ, że w zadaniu podana jest długość siatki – zapisz tę informację jako równanie z użyciem wprowadzonych niewiadomych.

Zapisz wzór na pole prostokąta jako funkcję jednej zmiennej – otrzymasz funkcję kwadratową.

Nie zapomnij o wyznaczeniu dziedziny.

Wyznacz argument, dla którego zapisana funkcja przyjmuje wartość największą.

Nie zapomnij o wyznaczeniu największego pola.

« wszystkie materiały do tej książki