Zadanie 1

Skorzystaj ze wzorów:

$a^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}$ dla $a\ge 0$, $m$ – liczby naturalnej większej od 1.

$a^{-1}=\frac{1}{a}$ dla $a\ne 0$.

Zadanie 2

Oblicz każdy z logarytmów znajdujących się w wyrażeniu, skorzystaj z definicji logarytmu.

Zauważ, że jeden z logarytmów jest logarytmem dziesiętnym.

Zadanie 3

Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli ostatnia jej cyfra jest równa 0 lub 5.

Uwaga: na pierwszym miejscu (cyfra setek) nie może stać zero.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 4

Skorzystaj z własności proporcji – przekształć równanie korzystając z metody „na krzyż”.

Zadanie 5

Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia:

${(a+b)}^2=a^2+2\mathrm{ab}+b^2$

${(a-b)}^2=a^2-2\mathrm{ab}+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 6

Doprowadź nierówność do jak najprostszej postaci. Dla wyrażenia ${(x+3)}^2$ zastosuj wzór skróconego mnożenia.

Zauważ, że otrzymujemy nierówność kwadratową.

Sporządź pomocniczy rysunek – narysuj parabolę, pamiętając, że współczynnik a ma wpływ na ułożenie ramion paraboli – do góry lub w dół.

Odczytaj z rysunku rozwiązanie.

Zadanie 7

Żeby rozwiązać to równanie, trzeba skorzystać z własności, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Pamiętaj, że równanie $x^2=\frac{1}{2}$ ma dwa rozwiązania.

Zadanie 8

Zauważ, że współczynniki kierunkowe prostych równoległych są sobie równe. Dla prostej l wystarczy obliczyć tylko współczynnik kierunkowy.

Jeśli prosta przechodzi przez jakiś punkt, to współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej.

Zadanie 9.1

Zdanie pierwsze:

Zbiór wartości odczytaj z osi $\mathrm{OY}$.

Zwróć uwagę, że funkcja osiąga wartości krańcowe – na wykresie końce są zamalowane, zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział domknięty.

Zdanie drugie:

Miejsce zerowe to argument $x$, dla którego wartość funkcji jest zerem.

Zadanie 9.2

Podaj maksymalne przedziały, dla których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała.

Przedziały odczytujemy z osi $\mathrm{OX}$.

Pamiętaj, że w przypadku monotoniczności funkcji, nie można zapisywać przedziałów jako sumy.

Zadanie 9.3

Ogranicz dziedzinę do przedziału $\langle 1;5\rangle$ i wartość największą odczytaj tylko dla argumentów z tego przedziału.

Możesz na przedstawionym rysunku narysować prostą prostopadłą do osi $\mathrm{OX}$, przechodzącą przez $1$ na osi $\mathrm{OX}$ oraz analogicznie przechodzącą przez 5. Ogranicz się do części wykresu leżącej między tymi prostym, włącznie z punktami wspólnymi wykresu i narysowanych prostych.

Zadanie 10

Wyznacz współrzędne środka danego okręgu – skorzystaj z równania okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci kanonicznej:

${(x-a)}^{\mathrm{2<!--<mn-->}}+{(y-b)}^{\mathrm{2<!--<mn-->}}=r^2$

Skorzystaj ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych: $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$.

Zadanie 11.1

Sporządź tabelkę przedstawiającą możliwe wyniki dwukrotnego rzutu symetryczną kostką do gry.

Zapisz liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Pamiętaj o zaznaczeniu dwóch odpowiedzi.

Zadanie 11.2

Sporządź tabelkę przedstawiającą możliwe wyniki dwukrotnego rzutu symetryczną kostką do gry.

Zapisz liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Inny sposób:

Skorzystaj z reguły mnożenia, żeby wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Zadanie 12.1

Skorzystaj ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: $f\left(x\right)={a(x-p)}^2+q$, gdzie ($p$,$q$) to współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji.

Zadanie 12.2

Zauważ, że parabola ma ramiona skierowane do góry.

Zaznacz w układzie współrzędnych wierzchołek paraboli, będącej wykresem danej funkcji, a następnie naszkicuj tę parabolę.

Korzystając z naszkicowanego wykresu funkcji $f$, odczytaj zbiór wartości tej funkcji.

Zadanie 12.3

Przypomnijmy, że oś symetrii paraboli ma równanie $x=p$.

Zauważ, że wzór funkcji kwadratowej jest podany w zadaniu w postaci kanonicznej, więc z tej postaci od razu odczytasz $p$.

Zadanie 13.1

Korzystając z podanego wzoru ciągu, oblicz wyraz $a_{60}$.

Zadanie 13.2

Wyznacz z podanego wzoru pięć jego pierwszych wyrazów, a następnie policz ich sumę.

Możesz również skorzystać ze wzoru na sumę początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego: $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$, gdzie $q$ jest ilorazem danego ciągu.

Zadanie 14

Zdanie pierwsze:

Podana prosta przechodzi przez punkt $M$, więc współrzędne tego punktu spełniają równanie danej prostej.

Zdanie drugie:

Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki kierunkowe.

Zadanie 15.1

Wyznacz wyraz $a_{n+1}$, a następnie różnicę $r=a_{n+1}-a_n$.

Zadanie 15.2

Rozwiąż nierówność $a_n<-7$.

Pamiętaj, że $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią.

Zadanie 15.3

Rozwiąż równanie $a_n=-31$.

Pamiętaj, że $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią.

Zadanie 16

Skorzystaj ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”, czyli: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ oraz ze wzoru: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zadanie 17

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 18

Skorzystaj ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ oraz pole trójkąta równobocznego $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ dla $a=4$.

Zadanie 19

Długość trzeciego boku obliczysz, korzystając z twierdzenia cosinusów.

Zadanie 20

Skorzystaj z podobieństwa trójkątów $\mathrm{AOM}$ i $\mathrm{BSM}$, wskaż cechę, z której skorzystasz.

Zauważ, że promienie okręgów (odcinki $\mathrm{AO}$ i $\mathrm{BS}$) są prostopadłe do przedstawionej na rysunku stycznej.

Zadanie 21

Sporządź pomocniczy rysunek i oznacz niewiadomymi długości boków prostokąta – strona w albumie.

Zauważ, że w zadaniu podany jest obwód prostokąta – zapisz ten związek z użyciem wprowadzonych niewiadomych. Pamiętaj o marginesach.

Zapisz wzór na pole prostokąta jako funkcję jednej zmiennej – otrzymasz funkcję kwadratową.

Nie zapomnij o wyznaczeniu dziedziny.

Wyznacz argument, dla którego zapisana funkcja przyjmuje wartość największą.

Zadanie 22.1

Mediana to wartość środkowa.

Zauważ, że aby prawidłowo wskazać medianę danego zestawu liczb, musimy ustawić te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

Zadanie 22.2

Policz, ilu jest uczniów w danej klasie.

Oblicz średnią arytmetyczną ocen.

Policz, ilu uczniów otrzymało ocenę poniżej średniej klasowej.

Zadanie 23

Wykonaj rysunek pomocniczy.

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny – jego podstawa jest kwadratem.

Objętość tego ostrosłupa można policzyć ze wzoru $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H$, gdzie $a$, $H$ to odpowiednio długość krawędzi podstawy i wysokość.

Zadanie 24

Aby pokazać, że liczba jest przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, trzeba ją zapisać w postaci $4k+3$, gdzie $k$ jest pewną liczbą naturalną.

Liczbę $7$ możesz zapisać jako sumę liczb $4$ i $3$.

Zadanie 25

Skorzystaj z wzorów na pole i objętość kuli.

Zadanie 26

Przypomnijmy, że czworościan foremny to czworościan, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

Zauważ, że czworościan foremny ma cztery ściany i sześć krawędzi tej samej długości.