Matura - arkusze - matematyka

Wskazówki - arkusz 6

Zadanie 1

Oblicz podane liczby.

Zauważ, że  0 , ( 3 ) = 1 3 .

Skorzystaj z definicji logarytmu.

Przypomnij sobie, że  a = a 1 2 .

Nie zapomnij podać dwóch odpowiedzi.

Zadanie 2

Sprawdź wszystkie odpowiedzi, podstawiając przedstawione w nich liczby do danej nierówności.

Możesz również skorzystać z własności:

| x - a | r wtedy i tylko wtedy, gdy a - r x a + r .

Zadanie 3

Zauważ, że:

jeśli x < y a > 1 , to a x < a y

oraz

jeśli x < y 0 < a < 1 , to a x > a y

Zadanie 4.1

Zauważ, że jeśli cena wzrosła o 20%, to nowa cena wynosi 120% ceny początkowej.

Zadanie 4.2

Oblicz, jakim procentem liczby 4,5 jest różnica cen styczniowej i kwietniowej.

Zadanie 4.3

Przyjmij oznaczenia: x – liczba wyjazdów na działkę przed pierwszą podwyżką, y – liczba wyjazdów na działkę po pierwszej podwyżce.

Zauważ, że jadąc i wracając z działki, państwo Wiśniewscy pokonują 100 km, czyli spalają 8 l benzyny.

Zadanie 5

Zauważ, że liczba - 1 2 nie należy do przedział będącego rozwiązaniem danej nierówności – puste kółeczko.

Zadanie 6

Skorzystaj z wzorów skróconego mnożenia:

( x - y ) 2 = x 2 - 2 xy + y 2

( x + y ) ( x - y ) = x 2 - y 2

Zadanie 7

Pomnóż nawiasy i doprowadź wielomian do postaci W ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Współczynniki wielomianu to w tym przypadku a , b , c , d . Otrzymasz te współczynniki jako konkretne liczby.

Zadanie 8

Dzielenie wyrażeń wymiernych wykonujemy tak samo jak dzielenie ułamków zwykłych.

Wyznaczając dziedzinę, pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny także dla odwrotności dzielnika.

Zadanie 9

Każdą liczbę całkowitą x , która nie jest podzielna przez 3 , można zapisać w postaci 3 k + 1 lub 3 k + 2 , gdzie k jest liczbą całkowitą.

Zadanie 10

Zauważ, że logarytmy z zadania mają takie same podstawy.

Skorzystaj ze wzoru na różnicę logarytmów.

Zadanie 11

Przypomnij sobie, że iloczyn dwóch (lub więcej) czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie x 2 - 5 = 0 ma dwa rozwiązania: x = 5 , x = - 5 . Nie zapomnij o rozwiązaniu: - 5 .

Równanie x 2 + 3 = 0 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 12

Zauważ, że wykres funkcji liniowej f ( x ) = ax + b przecina oś OY w punkcie ( 0 , b ) .

Z rysunku odczytujemy, że punkt przecięcia funkcji f z osią OY jest równy ( 0 , 2 ) .

Wykres naszej funkcji liniowej przechodzi przez punkt ( 3 , 4 ) . Wykonaj odpowiednie podstawienia do wzoru tej funkcji.

Zadanie 13.1

Skorzystaj ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f ( x ) .

Zadanie 13.2

Naszkicuj wykres funkcji f ( x ) = - 2 x 2 + 3 x + 5 i z otrzymanego wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności z tematu zadania. Następnie z rozwiązania wybierz tylko liczby całkowite.

Zwróć uwagę, że końce przedziału do niego należą.

Zadanie 14.1

Zauważ, że z warunków zadania otrzymujemy, że  K t = 2 K 0 oraz t = 7 .

Zadanie 14.2

Wzrost kapitału jest wykładniczy, zatem można odrzucić dwie odpowiedzi z wykresami, które nie przedstawiają wzrostu wykładniczego.

Sprawdź, na którym wykresie zaznaczono kapitał początkowy K 0 = 100 .

Zadanie 15

Zdanie pierwsze:

Żeby obliczyć a 12 , skorzystaj ze wzoru na  n –ty wyraz ciągu arytmetycznego: a n = a 1 + ( n - 1 ) r .

 

Zdanie drugie:

Skorzystaj ze wzoru:

S n = 2 a 1 + ( n - 1 ) r 2 n

Zadanie 16

Oblicz dwa pierwsze wyrazy ciągu b n .

Dla ciągu arytmetycznego ustal różnicę r oraz wyraz a 1 .

Przypomnijmy wzór na  n –ty wyraz ciągu arytmetycznego: a n = a 1 + ( n - 1 ) r .

Zadanie 17

Zdanie pierwsze:

Zauważ, że kąt α jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny.

 

Zdanie drugie:

Skorzystaj ze wzoru na „jedynkę trygonometryczną”, czyli: sin 2 α + cos 2 α = 1 oraz ze wzoru: tg α = sin α cos α

Zadanie 18.1

Zauważ, że trójkąt AOB jest równoramienny.

Miarę kąta AOB oblicz, korzystając z własności o kącie wpisanym w okrąg i kącie środkowym w okręgu, opartych na tym samym łuku.

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta o danych bokach a b i kącie α zawartym między tymi bokami: P = 1 2 a b sin α

Zadanie 18.2

Zdanie pierwsze:

Skorzystaj z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AOB .

 

Zdanie drugie:

Zauważ, że średnica okręgu ma długość 10.

Zadanie 19

Sporządź rysunek pomocniczy.

Przypomnij sobie, że przekątne w rombie są do siebie prostopadłe i dzielą się na połowy.

Zadanie 20

Skorzystaj z twierdzenia Talesa albo z podobieństwa trójkątów.

Zadanie 21

Zauważ, że  | DB | = 7 - | AD | .

Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie.

Zadanie 22

Średnicę okręgu oblicz, korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

| AB | = ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2 , gdzie A = ( x A , y A ) oraz B = ( x B , y B )

Zadanie 23

Odczytaj z równania okręgu współrzędne jego środka.

Współczynnik kierunkowy prostej k jest równy 1 .

Zauważ, że skoro prosta m jest prostopadła do prostej k , to jej współczynnik kierunkowy a spełnia warunek: a 1 = - 1 .

Punkt ( - 3 , 2 ) należy do prostej będącej wykresem funkcji m , zatem współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej.

Żeby wyznaczyć punkt przecięcia prostych k m , rozwiąż układ równań złożony z równań tych prostych.

Zadanie 24

Przypomnijmy, że stosunek objętości brył podobnych w skali k jest równy k 3 .

Skorzystaj ze wzoru na objętość graniastosłupa V = P p H , gdzie P p to pole podstawy, a  H to wysokość graniastosłupa.

Zadanie 25

Zaznacz na rysunku kąt z zadania.

Zauważ, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny – jego podstawa jest kwadratem.

Skorzystaj z trójkąta prostokątnego, którego bokami jest wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy oraz krawędź boczna.

Zadanie 26.1

Liczba czterocyfrowa ma być parzysta, więc ostatnią cyfrą w jej zapisie dziesiętnym jest cyfra parzysta.

Zauważ, że w zapisie dziesiętnym liczby czterocyfrowej występuje dokładnie jedna liczba parzysta.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 26.2

Rozpatrz trzy przypadki:

  1. Pierwsza cyfra jest nieparzysta.
  2. Druga cyfra jest nieparzysta.
  3. Trzecia cyfra jest nieparzysta.

Zauważ, że ostatnia cyfra musi być parzysta.

Cyfrą tysięcy nie może być cyfra 0.

Skorzystaj z reguły mnożenia.

Zadanie 27

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dwa różne dzielniki – jedynkę i samą siebie.

Uważaj – cyfra 1 nie jest liczbą pierwszą.

Sporządź tabelkę przedstawiającą możliwe wyniki dwukrotnego rzutu symetryczną kostką do gry – nie musisz zaznaczać wszystkich zdarzeń elementarnych – zaznacz te, o których jest mowa w poleceniu.

Zapisz liczbę wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia oraz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, którego prawdopodobieństwo masz policzyć.

Skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie 28

Zauważ, że bez względu na wartość n , średnia arytmetyczna rozważanego zestawu jest równa 0 .

Skorzystaj ze wzoru na odchylenie standardowe σ .

Zadanie 29

Zauważ, że suma przyprostokątnych rozważanego trójkąta wynosi 20.

Sporządź pomocniczy rysunek i oznacz niewiadomymi a , b przyprostokątne trójkąta prostokątnego, c – przeciwprostokątną.

Nie zapomnij o założeniach dla a .

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i zapisz długość przeciwprostokątnej c za pomocą a .

Jeśli wyznaczysz wartość argumentu a , dla której wielkość c 2 będzie najmniejsza, to dla tego samego argumentu a najmniejsza będzie wielkość c .

« wszystkie materiały do tej książki