Zadanie 1

1 sposób:

Zauważ, że $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

2 sposób:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (znajduje się w zestawie wzorów):

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

UWAGA: W każdym ze sposobów, stosując obliczenia, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 2

W obu sposobach skorzystaj z praw działań na potęgach (z zestawu wzorów):

1 sposób:

$a^{n+m}=a^n\cdot a^m$

czyli

$5^{13}=5^{12+1}=5^{12}\cdot 5^1$

$5^{14}=5^{12+2}=5^{12}\cdot 5^2$

2 sposób:

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

zatem:

$\frac{5^{13}}{5^{12}}=5^{13-12}=5^1$

$\frac{5^{14}}{5^{12}}=5^{14-12}=5^2$

Zadanie 3

Skorzystaj ze wzorów:

1)

$r\cdot {\log }_a\mathrm{x}={\log }_a{x}^r$

czyli

$2\cdot {\log }_3\mathrm{2}={\log }_3{2}^2$

2)

${\log }_a\mathrm{x}-{\log }_a\mathrm{y}={\log }_a\frac{x}{y}$

${\log }_3\mathrm{108}-{\log }_3\mathrm{4}={\log }_3\frac{108}{4}$

3) Przypomnijmy jeszcze definicję logarytmu (z zestawu wzorów na maturę):

${\log }_{a}b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$

${\log }_{3}27=3$, bo $3^3=27$

UWAGA, możesz też skorzystać z przekształcenia:

${\log }_{3}27={\log }_3{3}^3=3\cdot {\log }_{3}3=3\cdot 1=3$

Zadanie 4

Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia:

na kwadrat sumy

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

oraz

na kwadrat różnicy

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Zauważ, że przed drugim nawiasem jest znak minus, rozpisz najpierw wzór skróconego mnożenia w nawiasie, a następnie pamiętaj o zmianie znaków przed kolejnymi jednomianami przy opuszczaniu tego nawiasu.

Redukuj tylko jednomiany podobne.

Zadanie 5

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Przypomnij sobie, że liczbę nieparzystą można zapisać jako $2k+1$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Aby pokazać, że liczba jest podzielna przez 4, trzeba przedstawić tę liczbę jako iloczyn liczby 4 i liczby całkowitej. W zadaniu ograniczamy się do liczb naturalnych ze względu na polecenie zadania.

Zadanie 6

Jeżeli obie strony nierówności podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią (w naszej nierówności jest to liczba 2), to zwrot nierówności nie zmienia się.

Zadanie 7

Przypomnijmy, że iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

W równaniu mamy iloczyn trzech czynników: $2x$, $x+3$, $x^2+25$.

Równanie $x^2+25=0$ nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

UWAGA: dla równania $x^2+25=0$ można policzyć Δ, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego („deltę”) dla $a=1$, $b=0$, $c=25$. $\Delta =b^2-4ac=0^2-4\cdot 1\cdot 25=0-100=-100<0$ – brak rozwiązania.

Zadanie 8

Zauważ, że wyrażenie $x^2+x$ można zapisać w postaci $x(x+1)$.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ i wyrażenie $x^2+4x+4$ zapisz jako ${(x+2)}^2$. W tym przypadku możesz też skorzystać z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego.

Zadanie 9

Przypomnijmy z 1% jakiejś wielkości to 0,01 tej wielkości.

$\mathrm{13\%}$ z $x$ to $\mathrm{0,13}\cdot x$

$\mathrm{11\%}$ z $(\mathrm{1\; 200\; 000}-x)$ to $\mathrm{0,11}\cdot (\mathrm{1\; 200\; 000}-x)$

Zadanie 10

Wykonaj mnożenie po lewej stronie, a następnie przenieś jednomian $11x$ na lewą stronę. Uporządkuj wielomian po lewej stronie.

Zauważ, że nierówność z zadania jest kwadratowa.

Naszkicuj pomocniczo wykres funkcji $y=6x^2-11x+3$

Przypomnijmy, że gdy we wzorze funkcji kwadratowej $y={ax}^2+bx+c$ współczynnik $a>0$, to ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zadanie 11

1. Zrzutuj wykres prostokątnie na oś $\mathrm{OX}$, a następnie dziedzinę funkcji odczytaj z osi $\mathrm{OX}$:

2. Zrzutuj wykres prostokątnie na oś $\mathrm{OY}$, a następnie dziedzinę funkcji odczytaj z osi $\mathrm{OY}$:

3. Wartości dodatnie przyjmowane są dla wszystkich argumentów, dla których wykres znajduje się powyżej osi $\mathrm{OX}$.

4.

• Narysuj prostą równoległą do osi $\mathrm{OX}$ i przechodzącą przez 3 na osi $\mathrm{OY}$, czyli prostą o równaniu: $f\left(x\right)=3$.

• Wyznacz zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których prosta $f\left(x\right)=3$ pokrywa się z wykresem funkcji przedstawionym na rysunku.

Zadanie 12.1

Skorzystaj z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej $y=a{(x-p)}^2+q$ dla $a\ne 0$. Zauważ, że $p$ oraz $q$ to odpowiednio pierwsza i druga współrzędna wierzchołka paraboli.

Punkt $(0,3)$ należy do wykresu paraboli przedstawionej na rysunku w zadaniu, zatem odpowiednie jego współrzędne po podstawieniu do wzoru funkcji kwadratowej dają równość.

Zadanie 12.2

Przypomnij sobie, że osią symetrii paraboli o wierzchołku $W=(p,q)$ jest prosta o równaniu $x=p$. W naszym zadaniu $p=3$.

Zadanie 12.3

Przypomnij sobie, że miejsce zerowe jest to argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0 – miejsca zerowe funkcji, przedstawionej na wykresie odczytujemy z osi $\mathrm{OX}$.

Narysuj oś symetrii paraboli – miejsca zerowe są symetryczne względem tej osi symetrii.

Zadanie 13

Zwróć uwagę, że funkcja liniowa w zadaniu przedstawiona jest w postaci kierunkowej.

Przypomnijmy, że funkcja liniowa $y=ax+b$ nie ma miejsc zerowych, gdy jest funkcją stałą i jej wykres nie pokrywa się z osią $\mathrm{OX}$, czyli $a=0$ i $b\ne 0$.

Zauważ, że $b=-4\ne 0$, więc wystarczy, żeby $a=0$.

Zadanie 14.1

Zauważ, że ciąg jest dany rekurencyjnie, więc żeby obliczyć trzeci wyraz, najpierw trzeba obliczyć wyraz drugi.

Zadanie 14.2

Skorzystajmy z rozwiązania zadania 14.1 i wypiszmy trzy kolejne wyrazy ciągu przedstawionego w naszym zadaniu.

Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym różnica pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami musi być stała – taka sama dla danego ciągu.

Przypomnijmy, że w ciągu geometrycznym iloraz dwóch kolejnych wyrazów musi być stały – taki sam dla danego ciągu.

Zadanie 15

Skorzystaj z własności ciągu arytmetycznego (z zestawu wzorów na maturę):

Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego ($a_n$) prawdziwa jest równość:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ dla $n\ge 2$

Zauważ, że ciąg arytmetyczny jest malejący, gdy jego różnica $r<0$.

UWAGA: znak obliczonego $m$ nie świadczy o monotoniczności ciągu, trzeba wyznaczyć różnicę $r$ tego ciągu i ocenić jej znak.

Zadanie 16

Ciąg jest geometryczny, więc możesz zastosować (z zestawu wzorów na maturę):

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego ($a_n$), określonego dla $n>1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ dla $n>2$

Zadanie 17

Skorzystaj ze wzoru:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zadanie 18.1

Przypomnijmy, że środkowa trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem jego przeciwległego boku, zatem środkowa $\mathrm{CD}$ dzieli odcinek $\mathrm{AB}$ na dwa odcinki równej długości.

Skorzystaj ze wzoru na tangens kąta (zestaw wzorów na maturę):

u nas w zadaniu $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{AD}\right|}$

UWAGA: uważaj na oznaczenia wierzchołków – w trójkącie w zadaniu są inne niż w trójkącie z zestawu wzorów.

Oblicz długość odcinka $\mathrm{AC}$ z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego dla trójkąta $\mathrm{ADC}$.

Zadanie 18.2

Skorzystaj ze wzoru na sinus kąta (zestaw wzorów na maturę):

u nas w zadaniu $\sin \alpha =\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{AB}\right|}$

Oblicz długość odcinka $\mathrm{BC}$ z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego dla trójkąta $\mathrm{ABC}$.

UWAGA:

1. Uważaj na oznaczenia wierzchołków – w trójkącie w zadaniu są inne niż w trójkącie z zestawu wzorów.
2. Bądź ostrożny, zwracaj uwagę na oznaczenia kątów – w zadaniu 18.2 należy policzyć sinus kąta $\beta$.

Zadanie 19

Zauważ, że kąt $\mathrm{AOB}$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany $\mathrm{ACB}$.

Przypomnijmy własność, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego w okrąg, opartego na tym samym łuku.

Trójkąt $\mathrm{ABO}$ jest równoramienny, więc miary kątów $\mathrm{ABO}$ i $\mathrm{BAO}$ są takie same, suma ich miar wynosi $180°-100°=80°$.

Zadanie 20

Przypomnijmy cechę podobieństwa trójkątów $\mathrm{BBB}$ (z zestawu wzorów na maturę):

Zadanie 21

1. Twierdzenie cosinusów znajdziesz w zestawie wzorów maturalnych:

2. Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta, gdy dane masz jego dwa boki i miarę kąta zawartego między tymi bokami:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\mathrm{AB}\right|\cdot \left|\mathrm{BC}\right|\cdot \sin \mathrm{ABC}$

Zadanie 22

Zwróć uwagę, że przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od odcinka $\mathrm{AS}$.

Skorzystaj ze wzoru:

Zadanie 23

Dwie proste dane w postaci kierunkowej są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są takie same.

Zauważ, że w pierwszej prostej współczynnik kierunkowy to: $m-2$, a w drugiej prostej współczynnik kierunkowy to: $-4$.

Zadanie 24

Bądź ostrożny – do równania okręgu wpisujemy $r^2$, a nie $r$.

Zauważ, że odpowiedzi C i D odpadają po wpisaniu do równania okręgu współrzędnych środka okręgu.

Jeżeli punkt należy do okręgu, to współrzędne tego punktu podstawione do równania okręgu za odpowiednie zmienne $x$ i $y$, dają zdanie prawdziwe, czyli równość w tym zadaniu.

Zadanie 25

Przypomnijmy, że tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z brzegiem jego podstawy.

Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, będącego przekrojem osiowym stożka.

Przekrój osiowy stożka z zadania, to trójkąt równoramienny, którego podstawą jest średnica podstawy, a ramionami tworzące danego stożka.

Zauważ, że wysokość stożka dzieli trójkąt będący przekrojem osiowym stożka na dwa przystające trójkąty prostokątne o kątach 90°, 60°, 30°.

Skorzystaj z wzorów na sinus i cosinus kąta ostrego jednego z otrzymanych trójkątów prostokątnych:

Zadanie 26

Objętość sześcianu obliczamy ze wzoru: $V=a^3$, gdzie a to długość krawędzi sześcianu.

Przypomnij sobie, że wzór na przekątną sześcianu o boku długości $a$, to $a\sqrt{3}$.

Zadanie 27

Pierwszą cyfrą (cyfrą setek) nie może być zero, bo wówczas nie otrzymamy liczby trzycyfrowej.

Zauważ, aby otrzymać liczbę nieparzystą, jej cyfrą jedności musi być cyfra nieparzysta.

Przypomnijmy regułę mnożenia: żeby obliczyć liczbę wszystkich możliwości w doświadczeniu wieloetapowym, mnożymy przez siebie liczbę wyników możliwych do uzyskania na pojedynczych etapach – w naszym zadaniu kolejne etapy to wybór cyfr na miejsca setek, dziesiątek i jedności.

Zadanie 28

W dwukrotnym rzucie kostką zarówno za pierwszy jak i za drugim razem mamy po sześć różnych możliwości. Korzystając z reguły mnożenia otrzymujemy $6\cdot 6=36$ możliwych wyników tego doświadczenia (wszystkich zdarzeń elementarnych).

Zauważ, że w zadaniu istotna jest kolejność, więc rozróżniamy wyniki: $5$ i $6$ oraz $6$ i $5$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy z wzoru: $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$.

W zadaniu możesz narysować tabelkę i w niej zaznaczyć zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A.

Zadanie 29

Zastosuj w zadaniu wzór na średnią arytmetyczną (z zestawu wzorów na maturę):

Średnia arytmetyczna $a$ z liczb $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ jest równa:

$a=\frac{a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n}{n}$

Pamiętaj, że wszystkich liczb jest siedem, więc w mianowniku powyższego wzoru wpisujemy liczbę 7.

Zadanie 30

Pamiętaj – wyznaczając medianę trzeba uporządkować dane od wartości najmniejszej do wartości największej. W naszym zadaniu dane już są odpowiednio uporządkowane.

W przypadku parzystej liczby danych, jak w naszym zadaniu, medianę obliczamy jako średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wartości środkowych. U nas są to wartości 4 oraz 5 z miejsc dwunastego i trzynastego.

Zauważ, że dominantą będzie wartość, która powtarza się najczęściej.

Zadanie 31

Zapisz sumę długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$, a następnie przekształć otrzymane równanie tak, żeby wysokość prostopadłościanu zapisana była za pomocą zmiennej $x$.

Zapisz wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

We wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, podstaw za $h$ wyrażenie ze zmienną $x$.

Funkcja $P\left(x\right)$ jest funkcją kwadratową. Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół (współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji jest ujemny), więc wartość największą funkcja ta przyjmuje dla $x=p$, gdzie $p$ jest pierwsza współrzędną wierzchołka paraboli oraz gdy $x$ spełnia założenia naszego zadania, czyli jest liczbą naturalną, spełniającą warunki $x\in \left(0,11\right)$.

Pamiętaj o założeniach.