Zadanie 1

1 sposób:

Skorzystaj z własności, że $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ dla liczb nieujemnych $a$,$b$.

Ze wzoru $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ otrzymujemy, że $2^{-1}=\frac{1}{2}$

2 sposób:

Skorzystaj z własności, że $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, dla liczby nieujemnej $a$ oraz liczby dodatniej $b$.

Przypomnijmy, że $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Zadanie 2

1 sposób:

Przypomnij sobie, że procent składany, to taki sposób oprocentowania, w którym odsetki są doliczane do kapitału początkowego i w kolejnym okresie oprocentowanie naliczane jest od kapitału powiększonego o odsetki za wcześniejszy okres.

Zauważ, że lokata jest roczna.

Wzór na procent składany: $K_n=K_0\cdot {(1+\frac{p}{100})}^n$, gdzie kapitał początkowy to $K_0$ złożony na $n$ lat na lokacie bankowej, przy rocznym oprocentowaniu $p\%$.

2 sposób:

Przypomnijmy, że $p\%$ jakiejś wielkości, to $\frac{p}{100}$ tej wielkości.

W tym sposobie rozwiązania łączna wartość doliczonych odsetek na danej lokacie po dwóch latach, to suma odsetek doliczonych po pierwszym i po drugim roku.

UWAGA: W każdym ze sposobów, stosując obliczenia, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 3

Zgodnie ze wzorem $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\mathrm{n}]{a^m}$, (dla $a\ge 0$) otrzymujemy, że $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$

Skorzystaj z praw działań na potęgach

1)

$a^r\cdot a^s={a^{r+r}}^{}$

czyli

$5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}$

oraz

2)

${\left(a^r\right)}^{\mathrm{s}}=a^{r\cdot s}$

czyli

${\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}$

Zadanie 4

Skorzystaj ze wzorów:

${\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ dla $x>0$ oraz $y>0$

zatem:

${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_3\frac{4}{32}$

Przypomnijmy jeszcze definicję logarytmu:

${\log }_{a}b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$

zatem

${\log }_8\frac{1}{8}=-1$, bo $8^{-1}=\frac{1}{8}$

UWAGA, możesz też skorzystać z przekształcenia:

${\log }_8\frac{1}{8}={\log }_8{8}^{-1}=-1\cdot {\log }_{8}8=-1\cdot 1=-1$

Zadanie 5

1 wiersz:

Skorzystaj z praw działań na potęgach (z zestawu wzorów):

1) $a^{r\cdot s}={\left(a^r\right)}^s$

$5^{24}=5^{2\cdot 12}={\left(5^2\right)}^{12}$ (1 sposób)

$4^{12}={\left(2^2\right)}^{12}=2^{2\cdot 12}=2^{24}$ (2 sposób)

2) $a^r\cdot b^r={(a\cdot b)}^r$

czyli

$4^{12}\cdot {25}^{12}={(4\cdot 25)}^{12}$ (1 sposób)

$2^{24}\cdot 5^{24}={(2\cdot 5)}^{24}$ (2 sposób)

2 wiersz:

Zauważ, że np.:

${10}^2=\underbrace{100}$ - dwa „zera”; łącznie trzy cyfry

${10}^3=\underbrace{1000}$ - trzy „zera”; łącznie cztery cyfry

Zadanie 6

1 sposób:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

${a+b}^2=a^2+2ab+b^2$

Warto przypomnieć, że ${\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\frac{1}{2}\right)}^2=2^{\frac{1}{2}\cdot 2}=2$

2 sposób:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

${a-b}^2=a^2-2ab+b^2$

3 sposób

Jest to tzw. „deska ratunku”. Sposób ten stosuj tylko w sytuacji, gdy nie masz pomysłu, jak zastosować w zadaniu wzór skróconego mnożenia.

Przypomnijmy, że kwadrat liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

UWAGA: W każdym ze sposobów, stosując obliczenia, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 7

Żeby pokazać, że liczba jest podzielna przez 14, trzeba daną liczbę przedstawić jako iloczyn liczby 14 i liczby całkowitej.

Zauważ, że $14=2\cdot 7$, zatem żeby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez 14, wystarczy pokazać, że jest podzielna przez 2 (czyli jest parzysta) i przez 7.

1 sposób:

Iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczbą parzystą.

Jeżeli liczba całkowita $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n+3$ jest liczbą parzystą.

2 i 3 sposób

Przypomnij sobie, że liczbę parzystą można zapisać jako $2k$, a liczbę nieparzystą można zapisać jako $2k+1$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${a+b}^2=a^2+2ab+b^2$

UWAGA: Za sprawdzanie prawdziwości warunku przedstawionego w zadaniu dla konkretnych $n$ otrzymuje się 0 punktów.

Zadanie 8

Przypomnijmy, że iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Żeby zapisać sumę wszystkich rozwiązań, należy dodać te wszystkie rozwiązania.

Zadanie 9

Pamiętaj o założeniu, że mianownik nie może być równy zero.

Zauważ, że równanie jest zapisane w postaci proporcji.

Skorzystaj z reguły proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli równanie zapisane w postaci proporcji $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ można zapisać jako $a\cdot b=b\cdot c$, przy założeniach, że mianowniki nie mogą być równe 0.

Zadanie 10

Przekształć nierówność równoważnie (przenieś jednomiany z prawej strony nierówności na lewą, pamiętając o zmianie znaków przenoszonych jednomianów) i uporządkuj wyrazy.

Zauważ, że nierówność z zadania jest kwadratowa.

Naszkicuj pomocniczo wykres funkcji $y=3x^2-2x-8$

Przypomnijmy, że gdy we wzorze funkcji kwadratowej $y=a{x}^2+bx+c$ współczynnik $a>0$, to ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zwróć uwagę, że przedziały będą domknięte w miejscach zerowych rozważanej funkcji.

Zadanie 11

Zauważ, że skoro koszty organizacji stanowią 25% łącznych wpływów, to 75% łącznych wpływów stanowi pozostała kwota 4665 zł.

W 1 sposobie, rozwiązując równanie w zadaniu, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 12.1

1.

Narysuj prostą równoległą do osi $Ox$ i przechodzącą przez $3$ na osi $Oy$, czyli prostą o równaniu: $f\left(x\right)=3$.

Odczytaj z osi $Ox$ argument, dla którego prosta $f\left(x\right)=3$ przecina wykres funkcji przedstawiony na rysunku. W naszym zadaniu jest to argument $x=1$.

Zauważ, że dla $x=2$ na wykresie jest puste kółko, zatem punkt $(2,3)$ nie należy do wykresu danej funkcji, a $x=2$ nie jest rozwiązaniem równania $f\left(x\right)=3$.

2.

Wartość funkcji odczytujemy z osi $y$.

Zaznacz na wykresie proste $x=2$ oraz $x=3$. Odczytując największą wartość funkcji w przedziale $[2;3]$, bierzemy pod uwagę, tylko tę część wykresu, która leży pomiędzy zaznaczonymi prostymi, wraz z punktami na prostych (rozważana część wykresu zaznaczona została na zielono).

Zauważ, że najwyżej znajduje się punkt $\left(2,4\right)$, zatem największa wartość w przedziale $[2;3]$ to 4.

Zadanie 12.2

1.

Zbiór wartości odczytujemy z osi $Oy$.

Zrzutuj prostokątnie wykres na oś $Oy$, a następnie zbiór wartości funkcji odczytaj z tej osi (zaznaczony na czerwono na rysunku):

2.

Zaznacz na rysunku prostą $y=1$.

Zaznacz tę część wykresu, która jest powyżej narysowanej prostej (kolor zielony). Zauważ, że wartości funkcji mają być większe od 1.

Zadanie 13.1

1 wiersz:

1 sposób:

Zauważ, że kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi $x$ jest rozwarty, zatem funkcja jest malejąca.

Przypomnijmy, że jeśli funkcja liniowa $y=ax+b$ jest malejąca, to jej współczynnik kierunkowy $a<0$.

2 sposób:

Skorzystaj ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, czyli: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

2 wiersz:

Skorzystaj z informacji, że prosta o równaniu $y=ax+b$ przecina oś $y$ w punkcie $(0,b)$, w naszym zadaniu jest to punkt $(0,-3)$, zatem $b=-3$.

Zadanie 13.2

Skorzystaj ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, czyli: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Przypomnijmy własność, że $a=\mathrm{tg}\alpha$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy prostej opisanej równaniem $y=ax+b$, natomiast $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi $Ox$.

Zadanie 14

1 sposób:

Skorzystaj z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Z definicji miejsca zerowego, jeżeli liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to $g\left(0\right)=0$, czyli wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $(0;0)$.

Żeby przekształcić postać kanoniczną do postaci iloczynowej, zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$.

2 sposób:

Skorzystaj z definicji miejsca zerowego – jest to argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

Skorzystaj z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

Przypomnijmy, że jeżeli wykres funkcji przechodzi przez punkt o podanych współrzędnych, to po podstawieniu współrzędnych tego punktu w miejsce odpowiednich zmiennych we wzorze funkcji, otrzymujemy równość prawdziwą.

UWAGA: rozwiązując zadanie nie pomyl funkcji $f$ z funkcją $g$. Wygodnie jest w zapisie wzorów tych funkcji stosować zapis $f\left(x\right)=\cdots$, $g\left(x\right)=\cdots$, zamiast $y=\cdots$.

Zadanie 15

1 sposób:

Przypomnijmy, jak powstają kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:

2 sposób:

Skorzystaj z własności, że dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ prawdziwa jest równość: ${\left(a_n\right)}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ dla $n\ge 2$

UWAGA: ponieważ $a_k=3k+5$, w obydwu sposobach w miejsce $a_k$ można wstawić wzór $3k+5$.

Zadanie 16

Skorzystaj z wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$, czyli: $a_n=a_1+(n-1)\cdot \mathrm{r}$, gdzie $n\ge 1$.

Zadanie 17

1 sposób:

Przypomnijmy wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ oraz ilorazie $q$, gdzie $n\ge 1$, czyli

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

W przekształceniach skorzystaj z prawa działań na potęgach: $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

2 sposób:

Zadanie 18

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, bok $AC$ jest przeciwprostokątną, a bok $AB$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$.

Sinus kąta $\gamma$ to iloraz długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta, do długości przeciwprostokątnej, czyli: $\sin \gamma =\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, żeby obliczyć długość boku $AB$.

Przypomnijmy, że $$ {(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n$$, czyli ${\left(2\sqrt{10}\right)}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{10}\right)}^2$

Zadanie 19

Zauważ, że kąt $AOC$ jest kątem środkowym, a kąt $ADC$ jest kątem wpisanym w okrąg i obydwa te kąty oparte są na tym samym łuku.

Przypomnijmy twierdzenie, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego w okrąg i opartego na tym samym łuku.

Zadanie 20

Trójkąty $AOD$ i $BOC$ są trójkątami podobnymi, ponieważ:

$|<AOD|=|<BOC|$ jako kąty wierzchołkowe

$|<ADO|=|<OBC|$ jako kąty naprzemianległe (proste $k$ i $l$ są równoległe)

W zadaniu możesz też skorzystać z twierdzenia Talesa - wzór zamieszczony jest w zestawie wybranych wzorów matematycznych na maturę str. 17.

Zadanie 21

1 sposób:

Przypomnij sobie, że wzór na pole trójkąta o bokach $a$, $b$ oraz kącie $\alpha$ zawartym między tymi bokami obliczamy jako: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

2 sposób:

Zauważ, że trójkąty $KNM$ i $NLM$ mają taką samą wysokość $h$ opuszczoną z wierzchołka $M$ na bok $KL$.

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$ otrzymujemy, że jeżeli dwusieczna tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą zawierającą odcinek $AB$ w punkcie $D$, to: $\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$.

UWAGA: Twierdzenie cytowane powyżej nie jest zawarte w podstawie programowej, ale znajduje się w zestawie wzorów dostępnych na egzaminie maturalnym. Rozwiązanie zadania nie wymaga skorzystania z tego twierdzenia, ale uczeń może z niego skorzystać.

3 sposób:

Przypomnijmy, że dwusieczna kąta z definicji jest zbiorem punktów jednakowo-odległych od ramion tego kąta, czyli w naszym zadaniu punkt $N$ jest tak samo odległy od ramion kąta $KML$, czyli od odcinków $KM$ oraz $ML$.

Zadanie 22

Zadanie 23

Zadanie 24.1

Zadanie 24.2

Zadanie 25

Zadanie 26

Zadanie 27

Zadanie 28

Zadanie 29

Zadanie 30

Zadanie 31

Zadanie 32

Zadanie 33.1

Zadanie 33.2