Zadanie 1

1 sposób:

Skorzystaj z własności, że $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ dla liczb nieujemnych $a$,$b$.

Ze wzoru $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ otrzymujemy, że $2^{-1}=\frac{1}{2}$

2 sposób:

Skorzystaj z własności, że $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, dla liczby nieujemnej $a$ oraz liczby dodatniej $b$.

Przypomnijmy, że $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Zadanie 2

1 sposób:

Przypomnij sobie, że procent składany, to taki sposób oprocentowania, w którym odsetki są doliczane do kapitału początkowego i w kolejnym okresie oprocentowanie naliczane jest od kapitału powiększonego o odsetki za wcześniejszy okres.

Zauważ, że lokata jest roczna.

Wzór na procent składany: $K_n=K_0\cdot {(1+\frac{p}{100})}^n$, gdzie kapitał początkowy to $K_0$ złożony na $n$ lat na lokacie bankowej, przy rocznym oprocentowaniu $p\%$.

2 sposób:

Przypomnijmy, że $p\%$ jakiejś wielkości, to $\frac{p}{100}$ tej wielkości.

W tym sposobie rozwiązania łączna wartość doliczonych odsetek na danej lokacie po dwóch latach, to suma odsetek doliczonych po pierwszym i po drugim roku.

UWAGA: W każdym ze sposobów, stosując obliczenia, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 3

Zgodnie ze wzorem $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\mathrm{n}]{a^m}$, (dla $a\ge 0$) otrzymujemy, że $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$

Skorzystaj z praw działań na potęgach

1)

$a^r\cdot a^s={a^{r+s}}^{}$

czyli

$5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}$

oraz

2)

${\left(a^r\right)}^{\mathrm{s}}=a^{r\cdot s}$

czyli

${\left(5^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}$

Zadanie 4

Skorzystaj ze wzorów:

${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$ dla $x>0$ oraz $y>0$

zatem:

${\log }_{8}4-{\log }_{8}32={\log }_3\frac{4}{32}$

Przypomnijmy jeszcze definicję logarytmu:

${\log }_{a}b=c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c=b$ dla $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$

zatem

${\log }_8\frac{1}{8}=-1$, bo $8^{-1}=\frac{1}{8}$

UWAGA, możesz też skorzystać z przekształcenia:

${\log }_8\frac{1}{8}={\log }_8{8}^{-1}=-1\cdot {\log }_{8}8=-1\cdot 1=-1$

Zadanie 5

1 wiersz:

Skorzystaj z praw działań na potęgach (z zestawu wzorów):

1) $a^{r\cdot s}={\left(a^r\right)}^s$

$5^{24}=5^{2\cdot 12}={\left(5^2\right)}^{12}$ (1 sposób)

$4^{12}={\left(2^2\right)}^{12}=2^{2\cdot 12}=2^{24}$ (2 sposób)

2) $a^r\cdot b^r={(a\cdot b)}^r$

czyli

$4^{12}\cdot {25}^{12}={(4\cdot 25)}^{12}$ (1 sposób)

$2^{24}\cdot 5^{24}={(2\cdot 5)}^{24}$ (2 sposób)

2 wiersz:

Zauważ, że np.:

${10}^2=\underbrace{100}$ - dwa „zera”; łącznie trzy cyfry

${10}^3=\underbrace{1000}$ - trzy „zera”; łącznie cztery cyfry

Zadanie 6

1 sposób:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Warto przypomnieć, że ${\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^2=2^{\frac{1}{2}\cdot 2}=2$

2 sposób:

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

3 sposób:

Jest to tzw. „deska ratunku”. Sposób ten stosuj tylko w sytuacji, gdy nie masz pomysłu, jak zastosować w zadaniu wzór skróconego mnożenia.

Przypomnijmy, że kwadrat liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

UWAGA: W każdym ze sposobów, stosując obliczenia, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 7

Żeby pokazać, że liczba jest podzielna przez 14, trzeba daną liczbę przedstawić jako iloczyn liczby 14 i liczby całkowitej.

Zauważ, że $14=2\cdot 7$, zatem żeby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez 14, wystarczy pokazać, że jest podzielna przez 2 (czyli jest parzysta) i przez 7.

1 sposób:

Iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczbą parzystą.

Jeżeli liczba całkowita $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n+3$ jest liczbą parzystą.

2 i 3 sposób

Przypomnij sobie, że liczbę parzystą można zapisać jako $2k$, a liczbę nieparzystą można zapisać jako $2k+1$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

UWAGA: Za sprawdzanie prawdziwości warunku przedstawionego w zadaniu dla konkretnych $n$ otrzymuje się 0 punktów.

Zadanie 8

Przypomnijmy, że iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Żeby zapisać sumę wszystkich rozwiązań, należy dodać te wszystkie rozwiązania.

Zadanie 9

Pamiętaj o założeniu, że mianownik nie może być równy zero.

Zauważ, że równanie jest zapisane w postaci proporcji.

Skorzystaj z reguły proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli równanie zapisane w postaci proporcji $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ można zapisać jako $a\cdot d=b\cdot c$, przy założeniach, że mianowniki nie mogą być równe 0.

Zadanie 10

Przekształć nierówność równoważnie (przenieś jednomiany z prawej strony nierówności na lewą, pamiętając o zmianie znaków przenoszonych jednomianów) i uporządkuj wyrazy.

Zauważ, że nierówność z zadania jest kwadratowa.

Naszkicuj pomocniczo wykres funkcji $y=3x^2-2x-8$

Przypomnijmy, że gdy we wzorze funkcji kwadratowej $y=a{x}^2+bx+c$ współczynnik $a>0$, to ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zwróć uwagę, że przedziały będą domknięte w miejscach zerowych rozważanej funkcji.

Zadanie 11

Zauważ, że skoro koszty organizacji stanowią 25% łącznych wpływów, to 75% łącznych wpływów stanowi pozostała kwota 4665 zł.

W 1 sposobie, rozwiązując równanie w zadaniu, pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

Zadanie 12.1

1.

Narysuj prostą równoległą do osi $Ox$ i przechodzącą przez $3$ na osi $Oy$, czyli prostą o równaniu: $f\left(x\right)=3$.

Odczytaj z osi $Ox$ argument, dla którego prosta $f\left(x\right)=3$ przecina wykres funkcji przedstawiony na rysunku. W naszym zadaniu jest to argument $x=1$.

Zauważ, że dla $x=2$ na wykresie jest puste kółko, zatem punkt $(2,3)$ nie należy do wykresu danej funkcji, a $x=2$ nie jest rozwiązaniem równania $f\left(x\right)=3$.

2.

Wartość funkcji odczytujemy z osi $0y$.

Zaznacz na wykresie proste $x=2$ oraz $x=3$. Odczytując największą wartość funkcji w przedziale $[2;3]$, bierzemy pod uwagę, tylko tę część wykresu, która leży pomiędzy zaznaczonymi prostymi, wraz z punktami na prostych (rozważana część wykresu zaznaczona została na zielono).

Zauważ, że najwyżej znajduje się punkt $\left(2,4\right)$, zatem największa wartość w przedziale $[2;3]$ to 4.

Zadanie 12.2

1.

Zbiór wartości odczytujemy z osi $Oy$.

Zrzutuj prostokątnie wykres na oś $Oy$, a następnie zbiór wartości funkcji odczytaj z tej osi (zaznaczony na czerwono na rysunku):

2.

Zaznacz na rysunku prostą $y=1$.

Zaznacz tę część wykresu, która jest powyżej narysowanej prostej (kolor zielony). Zauważ, że wartości funkcji mają być większe od 1.

Zadanie 13.1

1 wiersz:

1 sposób:

Zauważ, że kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi $\mathrm{O}x$ jest rozwarty, zatem funkcja jest malejąca.

Przypomnijmy, że jeśli funkcja liniowa $y=ax+b$ jest malejąca, to jej współczynnik kierunkowy $a<0$.

2 sposób:

Skorzystaj ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, czyli: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

2 wiersz:

Skorzystaj z informacji, że prosta o równaniu $y=ax+b$ przecina oś $\mathrm{O}y$ w punkcie $(0,b)$, w naszym zadaniu jest to punkt $(0,-3)$, zatem $b=-3$.

Zadanie 13.2

Skorzystaj ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$, czyli: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Przypomnijmy własność, że $a=\mathrm{tg}\alpha$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy prostej opisanej równaniem $y=ax+b$, natomiast $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi $Ox$.

Zadanie 14

1 sposób:

Skorzystaj z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Z definicji miejsca zerowego, jeżeli liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to $g\left(0\right)=0$, czyli wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $(0;0)$.

Żeby przekształcić postać kanoniczną do postaci iloczynowej, zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$.

2 sposób:

Skorzystaj z definicji miejsca zerowego – jest to argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0.

Skorzystaj z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

Przypomnijmy, że jeżeli wykres funkcji przechodzi przez punkt o podanych współrzędnych, to po podstawieniu współrzędnych tego punktu w miejsce odpowiednich zmiennych we wzorze funkcji, otrzymujemy równość prawdziwą.

UWAGA: rozwiązując zadanie nie pomyl funkcji $f$ z funkcją $g$. Wygodnie jest w zapisie wzorów tych funkcji stosować zapis $f\left(x\right)=\cdots$, $g\left(x\right)=\cdots$, zamiast $y=\cdots$.

Zadanie 15

1 sposób:

Przypomnijmy, jak powstają kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:

2 sposób:

Skorzystaj z własności, że dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ prawdziwa jest równość: ${\left(a_n\right)}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ dla $n\ge 2$

UWAGA: ponieważ $a_k=3k+5$, w obydwu sposobach w miejsce $a_k$ można wstawić wzór $3k+5$.

Zadanie 16

Skorzystaj z wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$, czyli: $a_n=a_1+(n-1)\cdot \mathrm{r}$, gdzie $n\ge 1$.

Zadanie 17

1 sposób:

Przypomnijmy wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ oraz ilorazie $q$, gdzie $n\ge 1$, czyli

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

W przekształceniach skorzystaj z prawa działań na potęgach: $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

2 sposób:

Zadanie 18

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, bok $AC$ jest przeciwprostokątną, a bok $AB$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$.

Sinus kąta $\gamma$ to iloraz długości boku leżącego naprzeciwko tego kąta, do długości przeciwprostokątnej, czyli: $\sin \gamma =\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, żeby obliczyć długość boku $AB$.

Przypomnijmy, że $$ {(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n$$, czyli ${\left(2\sqrt{10}\right)}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{10}\right)}^2$

Zadanie 19

Zauważ, że kąt $AOC$ jest kątem środkowym, a kąt $ADC$ jest kątem wpisanym w okrąg i obydwa te kąty oparte są na tym samym łuku.

Przypomnijmy twierdzenie, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego w okrąg i opartego na tym samym łuku.

Zadanie 20

Trójkąty $AOD$ i $BOC$ są trójkątami podobnymi, ponieważ:

$|<AOD|=|<BOC|$ jako kąty wierzchołkowe

$|<ADO|=|<OBC|$ jako kąty naprzemianległe (proste $k$ i $l$ są równoległe)

W zadaniu możesz też skorzystać z twierdzenia Talesa - wzór zamieszczony jest w zestawie wybranych wzorów matematycznych na maturę str. 17.

Zadanie 21

1 sposób:

Przypomnij sobie, że wzór na pole trójkąta o bokach $a$, $b$ oraz kącie $\alpha$ zawartym między tymi bokami obliczamy jako: $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

2 sposób:

Zauważ, że trójkąty $KNM$ i $NLM$ mają taką samą wysokość $h$ opuszczoną z wierzchołka $M$ na bok $KL$.

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$ otrzymujemy, że jeżeli dwusieczna tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą zawierającą odcinek $AB$ w punkcie $D$, to: $\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$.

UWAGA: Twierdzenie cytowane powyżej nie jest zawarte w podstawie programowej, ale znajduje się w zestawie wzorów dostępnych na egzaminie maturalnym. Rozwiązanie zadania nie wymaga skorzystania z tego twierdzenia, ale uczeń może z niego skorzystać.

3 sposób:

Przypomnijmy, że dwusieczna kąta z definicji jest zbiorem punktów jednakowo-odległych od ramion tego kąta, czyli w naszym zadaniu punkt $N$ jest tak samo odległy od ramion kąta $KML$, czyli od odcinków $KM$ oraz $ML$.

Zadanie 22

W obu sposobach korzystamy z własności, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym $R=\frac{2}{3}h$.

Warto przypomnieć wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$, czyli: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zadanie 23

Skorzystajmy z wzoru $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Zadanie 24.1

1 sposób:

Przypomnijmy sobie, że pole trójkąta prostokątnego można obliczyć jako połowę iloczynu długości jego przyprostokątnych.

Obliczając długości odcinków o danych końcach $(x_A,y_A)$ oraz $(x_B,y_B)$, korzystamy ze wzoru: $\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}$

2 sposób:

Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ oraz $C(x_C,y_C)$, można obliczyć ze wzoru znajdującego się w zestawie wzorów:

$P_{∆}=\frac{1}{2}\cdot \left|\right(x_B-x_A\left)\right(y_C-y_A)-(y_B-y_A\left)\right(x_C-x_A\left)\right|$

Zadanie 24.2

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej danego trójkąta.

Zadanie 25

1 wiersz:

1 sposób:

Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ można zapisać w postaci:

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$

Punkt o danych współrzędnych leży na okręgu, jeśli spełnia równanie tego okręgu, czyli po podstawieniu współrzędnych tego punktu odpowiednio w miejsce zmiennych $x$ i $y$ w równaniu okręgu, otrzymujemy równość.

2 sposób:

Przypomnijmy, że okrąg jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od środka okręgu jest równa promieniowi tego okręgu. Zatem, jeśli jakiś punkt leży na okręgu o danym środku i promieniu, to odległość tego punktu od środka okręgu jest równa promieniowi danego okręgu.

2 wiersz:

Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ można zapisać w postaci:

${(x-a)}^2+{(y-a)}^2=r^2$

Zauważ, że w drugim wierszu, w równaniu okręgu promień $r=5$ nie został podniesiony do drugiej potęgi.

Zadanie 26

Dwie proste o równaniach kierunkowych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Prosta o równaniu $y=ax+b$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,b)$.

Zadanie 27

Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, więc jego podstawą jest kwadrat.

Sporządź odpowiedni rysunek, zaznacz na nim poprawnie kąt pomiędzy krawędzią boczną, a płaszczyzną podstawy. Jest kąt pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa, a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę, czyli odcinkiem zawartym w przekątnej podstawy tego ostrosłupa.

Podstawa ostrosłupa jest kwadratem, związek między bokiem kwadratu $a$ a długością jego przekątnej $d$ opisuje wzór: $d=a\sqrt{2}$

Przypomnijmy, że w trójkącie prostokątnym tangens kąta ostrego to iloraz długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta do długości drugiej przyprostokątnej. W naszym zadaniu naprzeciw kąta 30° leży przyprostokątna $OE=H$.

Zadanie 28

Stosunek objętości stożka do walca zapisujemy jako iloraz: $\frac{V_S}{V_W}$

Zwróć uwagę, że jeśli: $r_S=2\cdot r_W$, to ${\left(r_S\right)}^2={(2\cdot r_W)}^2=4{\left(r_W\right)}^2$. Nie zapomnij o podniesieniu do potęgi również liczby 2.

Zadanie 29

Pierwszą cyfrą (cyfrą setek) nie może być zero, bo wówczas nie otrzymamy liczby trzycyfrowej.

Zauważ, aby otrzymać liczbę nieparzystą, jej cyfrą jedności musi być cyfra nieparzysta.

Przypomnijmy regułę mnożenia: żeby obliczyć liczbę wszystkich możliwości w doświadczeniu wieloetapowym, mnożymy przez siebie liczbę wyników możliwych do uzyskania na pojedynczych etapach – w naszym zadaniu kolejne etapy, to wybór cyfr na miejsca setek, dziesiątek i jedności.

Zadanie 30

Zbiory $X$ i Y są pięcioelementowe. Każdą z dwóch cyfr losujemy na pięć sposobów, jedną ze zbioru $X$, a jedną ze zbioru Y. Z reguły mnożenia otrzymujemy: $\left|\Omega \right|=5\bullet 5=25$ – tyle jest wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu przedstawionym w zadaniu.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy z wzoru: $P\left(A\right)$.

W zadaniu możesz narysować tabelkę i w niej zaznaczyć zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A.

Zadanie 31

1 wiersz:

Zastosuj w zadaniu wzór na średnią arytmetyczną (z zestawu wzorów na maturę):

Średnia arytmetyczna $\stackrel{\_}{a}$ z liczb $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ jest równa:

$\stackrel{\_}{a}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

2 wiersz:

Pamiętaj – wyznaczając medianę trzeba uporządkować dane od wartości najmniejszej do wartości największej. W naszym zadaniu dane już są odpowiednio uporządkowane.

Do obliczenia mediany można skorzystać z informacji podanej w zestawie wzorów na maturę:

• dla $n$ nieparzystych: $a_{\frac{n+1}{2}}$ (środkowy wyraz ciągu)
• dla $n$ parzystych: $\frac{1}{2}\cdot (a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1})$ (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu)

Zadanie 32

Zastosuj w zadaniu wzór na średnią arytmetyczną (z zestawu wzorów na maturę):

Średnia arytmetyczna $\stackrel{\_}{a}$ z liczb $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ jest równa:

$\stackrel{\_}{a}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

Zadanie 33.1

Gdy piłeczka uderzy w ziemię jej wysokość $h$ będzie wynosić $0$, zatem wzór danej funkcji przyrównujemy do $0$.

Rozwiązując równanie: $t(-\mathrm{4,9}t+\mathrm{14,7})=0$ skorzystaj z własności, że iloczyn dwóch lub więcej czynników jest równy zero, wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy zero.

Równanie: $-\mathrm{4,9}{t}^2+\mathrm{14,7}t=0$ jest równaniem kwadratowym, możesz więc rozwiązać je obliczając „deltę” oraz $t_1$ oraz $t_2$.

Odpowiedź $t=0$ nie spełnia warunków zadania, gdyż jest to moment wyrzucenia piłeczki, a nas interesuje pierwsze uderzenie piłeczki w ziemię.

Zadanie 33.2

Funkcja $h\left(t\right)$ jest funkcją kwadratową, jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, ponieważ $a=-\mathrm{4,9}<0$.

Największa wartość funkcji $h\left(t\right)$ osiągana jest dla pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli , czyli dla $p$.

Podstawiając współczynniki do wzoru, zauważ, że: $a=-\mathrm{4,9}$, $b=\mathrm{14,7}$.